Около трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, описана окружность. Расстояние от центра окружности до меньшего основания равно 12, а до большего - равно 5. Найти радиус окружности и площадь трапеции.

задан 3 Янв '15 20:23

изменен 4 Янв '15 15:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%O$% -- центр окружности. Обозначим через $%x$% расстояние от $%O$% до точки пересечения диагоналей. Тогда диагонали вместе с основаниями дают два равнобедренных прямоугольных треугольника, высоты которых равны $%x+5$% и $%12-x$% соответственно. Такими же будут половины оснований. Отсюда получается уравнение $%(x+5)^2+5^2=(12-x)^2+12^2$%, означающее, что $%O$% равноудалена от вершин. Решая его, имеем $%x=7$%, что даёт значение радиуса $%R=13$%. Полусумма оснований равна $%5+12=17$%, и таково же значение высоты, откуда площадь равна $%S=17^2=289$%.

ссылка

отвечен 3 Янв '15 21:00

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть трапеция $%ABCD \ \ ( \ BC|| AD, BC< AD, AC\perp BD, AC\cap BD=O, OE\perp AD,$% $% OF\perp BC)$% вписана в окружность. Значит трапеция равнобедренная $% AB=CD.$%Тогда высота $% BH$% опущенная из вершины меньшего основания делит большое основание на две части, один из частей равен полусуммы оснований, а другой-полуразности $%DH=\frac{a+b}2, AH=\frac{a-b}2$%.Так-как диагонали взаимно перпендикулярны, то $%\triangle BHD $% равносторонний прямоугольный треугольник-$%DH=BH=12+5=17, AC=BD=17\sqrt2, S_{ABCD}=\frac12AC\cdot BD=289.$%

$% \begin{cases}\frac{a+b}2=17 \\ (\frac a 2)^2+25=(\frac b 2)^2+144\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}\frac{a+b}2=17 \\ \frac{a-b}2=7\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a=24 \\ b=10\end{cases}. R=\sqrt{(\frac a 2)^2+25}=13.$%

Есть еще один случай, когда центр окружности находится вне трапеции. Тогда $%DH=BH=12-5=7, AC=BD=7\sqrt2, S_{ABCD}=\frac12AC\cdot BD=49.$% $% \begin{cases}\frac{a+b}2=7 \\ (\frac a 2)^2+25=(\frac b 2)^2+144\end{cases}\Rightarrow ...$%

ссылка

отвечен 3 Янв '15 21:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×760
×81

задан
3 Янв '15 20:23

показан
1547 раз

обновлен
3 Янв '15 21:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru