Доказать, что бесконечная дробь $%0,a_1a_2a_3...$% - иррациональное число, где $%a_n$% - первая цифра числа $%2^n$%.

задан 4 Янв '15 1:09

10|600 символов нужно символов осталось
0

Можно сослаться на статью В.Г.Болтянского из "Кванта" (1978, №5) под названием "Часто ли степени двойки начинаются с единицы?" Я помню её со своих школьных времён. Там рассматривались вероятности соответствующих событий (точнее, пределы вероятностей того, что степень двойки с показателем от 1 до N начинается с заданной цифры, где $%N\to\infty$%). Например, для того, чтобы запись $%2^n$% начиналась с единицы, нужно, чтобы дробная часть числа $%n\lg2$% лежала в пределах от $%0=\lg1$% до $%\lg2$%; для первой цифры 2 у степени дробная часть должны принимать значения от $%\lg2$% до $%\lg3$%, и так далее. Ввиду иррациональности логарифма, дробные части распределены асимптотически равномерно. Отсюда следует, что вероятность цифры $%k$% в начале равна длине промежутка, то есть $%\lg\frac{k+1}k$%. Эти вероятности иррациональны, и они уменьшаются с увеличением $%k$%.

Если бы число из условия было рациональным, то дробь оказалась бы периодической, и пределы вероятностей были бы равны частотам, с которыми цифра встречается в периоде, то есть они были бы рациональны.

ссылка

отвечен 4 Янв '15 2:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×191

задан
4 Янв '15 1:09

показан
373 раза

обновлен
4 Янв '15 2:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru