Помогите разобраться с теоремой(Критерий Коши для последовательности). Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.

alt text

Все никак не могу понять первую часть доказательства достаточности, про то что из фунд. следует ограниченность. Что это за $%C_0$%? Почему мы выбираем максимальное из двух чисел? Почему мы потом выбираем максимальное из какой-то подпоследовательности? В общем, мало пойму это доказательство... Не мог бы кто-нибудь помочь разобраться? Может можно привести какой-нибудь наглядный пример с цифрами, вместо непонятных $%a_{N+1}$%?

задан 4 Янв '15 14:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Давайте сначала разберём сами определения. Последовательность $%a_n$% ($%n\ge1$%) называется ограниченной сверху, если существует такое число $%M$%, для которого $%a_n\le M$% при всех $%n\ge1$%. Ограничение $%M$% из этого определения не обязано быть точным, то есть равенство может нигде не достигаться. Если подходит число $%M$%, то подходит также $%M+1$%, поэтому в определении можно нестрогие неравенства заменить на строгие.

Теперь второе определение: последовательность $%a_n$% ($%n\ge1$%) называется ограниченной снизу, если существует такое число $%m$%, для которого $%m\le a_n$% при всех $%n\ge1$%.

Наконец, последовательность $%a_n$% ($%n\ge1$%) называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть существует числа $%M$%, $%m$%, для которых $%m\le a_n\le M$% при всех $%n\ge1$%.

Удобно вместо двух чисел рассматривать одно. Например, пусть $%M=10$%, $%m=-13$%. Тогда $%a_n\in[-13;13]$% для всех $%n$%. Иными словами, существует такое $%C$%, для которого выполнены неравенства $%-C\le a_n\le C$% при всех $%n$%. Легко понять, что в качестве $%C$% годится максимальное из двух чисел $%|M|$%, $%|m|$%, то есть $%C=\max(|M|,|m|)$%. Действительно, $%a_n\le M\le|M|\le C$%, а также $%-C\le-|m|\le m\le a_n$% для всех $%n$%. Это следует из определения максимума двух чисел, а также простейших свойств неравенств.

Теперь по поводу доказательства ограниченности фундаментальной последовательности. Для начала выбирается $%\varepsilon=1$% (можно было взять любое другое), для которого в последовательности $%a_{N+1}$%, $%a_{N+2}$%, ... все члены удалены друг от друга на расстояние меньше $%\varepsilon$%, то есть модули разностей любых двух членов меньше 1. В частности, $%|a_n-a_{N+1}| < 1$% при $%n\in\{N+1,N+2,\ldots\}$%. Раскрывая двойное неравенство, имеем $%a_{N+1}-1< a_n < a_{N+1}+1$% для всех $%n > N$%, где $%N$% является константой. Таким образом, у нас имеются ограничения сверху и снизу, но пока не для всей последовательности, а для подпоследовательности без учёта первых членов $%a_1$%, ... , $%a_N$%. Идея в том, что они могут быть очень большими.

Например, последовательность может иметь такой вид: 100, -2015, 333, 19, -100500, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . Ясно, что надо учесть также начальные члены (до 1). Их конечное число, поэтому они находятся в пределах от $%m$% до $%M$%, где $%m$% -- минимальное, а $%M$% максимальное из них. В рассмотренном примере $%m=-100500$%, $%M=333$%. Понятно, что оценку можно унифицировать, выбирая ограничения в виде $%-C$%, $%C$%, что можно сделать сразу или в конце. Скажем, можно было сначала выбрать $%C_0$%, для которого $%-C_0\le a_n\le C_0$% при $%n > N$%, а затем уже взять $%C=\max(|a_1|,\ldots,|a_N|,C_0)$%, где теперь уже все ограничения учтены.

ссылка

отвечен 4 Янв '15 17:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×394
×131

задан
4 Янв '15 14:50

показан
750 раз

обновлен
4 Янв '15 18:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru