alt text

Если составить линейную комбинацию, равную нулевой матрице, то все $%a$% сокращаются. Значит, для любых $%a$%. Так ведь?

задан 4 Янв '15 23:18

изменен 5 Янв '15 13:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет, это не так. Базис получится при всех $%a$% кроме трёх значений. Легко заметить, что первые элементы матриц пропорциональны $%a-4$%, и если $%a=4$%, то у всех линейных комбинаций на соответствующих местах будут нули, то есть базиса не получится. Поэтому $%a\ne4$%. Аналогично, $%a\ne1$%, если посмотреть на третьи элементы, и $%a\ne-1$%, если посмотреть на четвёртые.

Проще всего поступить так: поскольку размерность пространства равна 4, то система из четырёх векторов будет базисом тогда и только тогда, когда она линейно независима. Для проверки этого свойства матрицы можно записать как строки из $%\mathbb R^4$% и составить из них определитель. Пользуясь свойствами определителя и вынося общие множители каждого из столбцов, мы получим $$5(a-4)(a-1)(2a+2)\begin{vmatrix} 1 & -2 & -1 & -1\\ 0 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -3 & -5\\ 2 & -2 & -3 & -7 \end{vmatrix},$$ и легко проверить, что числовой определитель равен двум. Поэтому итоговый определитель отличен от нуля тогда и только тогда, когда $%a$% не равно ни одному из трёх указанных выше значений, что означает базисность.

ссылка

отвечен 4 Янв '15 23:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×279

задан
4 Янв '15 23:18

показан
562 раза

обновлен
4 Янв '15 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru