При возведении двузначного числа в степень 2014 последняя цифра оказалась равна 1, а предпоследняя равна 6. Найдите сумму всех таких двузначных чисел.

задан 6 Янв '15 14:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Последняя цифра двузначного числа нечётна и не равна 5. Поэтому она может принимать только значения 1, 3, 7, 9. При возведении в 4-ю степень каждой из этих цифр на конце получается 1. То же самое будет происходить при возведении в 2012-ю степень, кратную четырём. Поэтому нас интересует случай, когда 1 возникает на конце при возведении в квадрат, что соответствует 2014-й степени. Ясно, что подходят только 1 и 9.

Рассмотрим случай, когда двузначное число оканчивается на 1. Тогда оно имеет вид $%10k+1$% для некоторой цифры $%k$%. При возведении в $%n$%-ю степень получается $%(10k+1)^n=1+10kn+\cdots$%, где все остальные слагаемые, получающиеся при раскрытии скобок, делятся на 100, то есть на две последние цифры не влияют. Нас интересует случай, когда предпоследняя цифра равна 6, а это имеет место, когда $%kn$% оканчивается на 6, где $%n=2014$%. Это равносильно тому, что $%4k$% оканчивается на 6, то есть $%k=4$% или $%k=9$%. Это даёт нам числа $%41$% и $%91$%.

Второй случай, когда двузначное число оканчивается на 9, разбирается аналогично. Здесь можно считать, что число имеет вид $%10k-1$%, и после возведения в степень $%n=2014$% получится $%1-10kn+\cdots$%, и тогда $%kn$% оканчивается на 4 (поскольку 100-40=60). Заменяя $%n$% на 4, приходим к тому, что $%k=1$% или $%k=6$%, но при $%k=1$% получается однозначное, а не двузначное число. Таким образом, остаётся один вариант: $%59$%.

Итого имеется три числа, и их сумма равна $%41+59+91=191$%.

ссылка

отвечен 6 Янв '15 16:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,771

задан
6 Янв '15 14:50

показан
959 раз

обновлен
6 Янв '15 16:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru