функциональный-анализ - При каких значениях параметров сходится последовательность в пространстве основных функций?

Рассмотрим пространство основных функций $%S$% вводится следующим образом: это пространство таких функций $%f\in C_0^\infty(\mathbb R^n)$%, что для любых мультииндексов $%\alpha$% и $%\beta$% существует зависящая только от них константа $$M_{\alpha,\beta}: \, |x^\alpha D^\beta f(x)|\leq M_{\alpha,\beta}$$.

Задано счётное семейство полунорм

Сходимость введена следующим образом: $%f_n\to f$% в $%S$%, если $%\|f_n-f\|_k\,\forall k=0,1,2,\dots$%

Возникла следующая задача: Пусть $%a$% и $%b$% - вещественные параметры. При каких значениях параметров последовательность $%\frac{1}{n^a}e^{-n^\beta|x|^2}$% сходится в $%S$%?

Попытка решения.

Мы знаем, что пространство $%S$% - полное. Поэтому достаточно найти те значения параметров, при котором последовательность является фундаментальной.

Если $%\alpha > 0, \beta = 0$%, то фундаментальность очевидна.

А вот с остальными случаями непонятно. Заранее спасибо.