$$y' = 2x + 3y + 1.$$

Помогите решить, пожалуйста, не могу правильно разделить переменные.

задан 17 Май '12 19:39

изменен 18 Май '12 14:14

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Проверьте условие.

(17 Май '12 20:01) Anatoliy
1

Так они и не разделяются!

(18 Май '12 0:39) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ваше уравнение вида $%{ y }^{ \prime }+p\left( x \right) \cdot y=f\left( x \right)$% ($%p(x)= -3, f(x)=2x+1$%) - линейное первого порядка. Представьте искомую функцию в виде $%y\left( x \right) =u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)$%. Уравнение примет вид $%{ u }^{ \prime }v+{ v }^{ \prime }u-3uv=2x+1\Longleftrightarrow { u }^{ \prime }v+u\left( { v }^{ \prime }-3v \right) =2x+1$%. Функцию $%v$% найдите из условия $%{ v }^{ \prime }-3v=0,\quad v={ e }^{ 3x }$%. Для нахождения функции $%u$% решите уравнение $%{ u }^{ \prime }v=2x+1$% ( с разделяющимися переменными).

ссылка

отвечен 17 Май '12 20:43

изменен 18 Май '12 14:15

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это линейное уравнение, решение можно искать по схеме "общее решение однородного ур-я + частное решение неоднородного". Однородное ур-е $%y'=3y $%, его общее решение $%y=C\cdot e^{3x} $%. Частное решение неоднородного ур-я с линейной правой частью можно искать в виде линейной ф-ии $%y_1=ax+b$%, подставив в ур-е, найдем $%a=-2/3$%, $%b=-5/9$%.

Ответ: $%y=C\cdot e^{3x}-\frac{2}{3} x-\frac{5}{9}$%

ссылка

отвечен 18 Май '12 23:29

Это решение самое короткое.

(19 Май '12 22:51) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) $%dy/dx = 2x; y_1 = x^2;$%
2) $%dy/dx = 3y +1; (\ln(3y + 1))/3 = x; \ln(3y + 1) = 3x; 3y + 1 =e^{3x}; y_2 = (e^{3x}-1)/3;$%
Решение: $$y = y_1 + y_2 = x^2 +(e ^{3x}-1)/3$$
Проверка: $%dy/dx = 2x + e^{3x} = 2x + 3y +1$%

ссылка

отвечен 17 Май '12 20:37

изменен 18 Май '12 8:40

в 1) dy/dx разве не равно 2x +1?

(17 Май '12 21:11) tkoff
1

Проверка не удалась. Совсем даже не равно.

(18 Май '12 0:38) DocentI
1

Предложенный мною метод решения ошибочен. Надо искать решение по @Anatoliy

(18 Май '12 8:37) nikolaykruzh...
1

Можно взять 1)dy/dx = 2x + 1; 2)dy/dx = 3y. Результат будет тот же самый(см. выше: Решение). Постоянные интегрирования условно приняты равными нулю. Проверка правильная: я восстановил ошибочно пропущенную цифру 3 перед y. Надпись об ошибочности метода внесена в раздражённом состоянии: не хочет решать по-простому, пусть решает по-сложному.Потом остыл. Спасибо уважаемой @DocentI за правку моего текста.

(18 Май '12 19:57) nikolaykruzh...

Нет, так неправильно. Если $%y=y_1+y_2 $%, то $%y_1'+y_2'=2x+3y_1+3y_2+1$%. поэтому, если $%y_1'=2x$%, то $%y_2'=3y_1+3y_2+1$%, а не $%3y_2+1$%.

(18 Май '12 23:49) Андрей Юрьевич

Спасибо за поправку, Андрей Юрьвич, но возникает попутный вопрос; как из Ответа выйти на исходное уравнение? Я сейчас действую по пословице: "Если не знаешь выхода - не входи", хотя, конечно. много раз нарушал требование этой народной мудрости

(19 Май '12 17:42) nikolaykruzh...

Вы имеете в виду мой ответ? Подставить в уравнение и убедиться, что это решение.

(19 Май '12 19:46) Андрей Юрьевич

Убедился, хотя не доверять Вам - не уважать себя. Но - не верю, пока не пощупаю. Уж таков по натуре.

(19 Май '12 20:21) nikolaykruzh...
2

Математика - наука точная, истина в ней всегда конкретна, абсолютна и объективна, уважение тут ни при чем.

(19 Май '12 21:49) Андрей Юрьевич

@nikolaykruzh... Что именно Вам не нравится в решении А.Ю.? Разве что, он не показал, как именно подставлять частное решение вида $%y=ax+b$% в уравнение.
Его решение сделано по теории и оно в данном случае самое короткое. Для правых частей специального вида не обязательно применять метод вариации постоянных, так как вид решения известен из общих соображений.

(19 Май '12 22:56) DocentI
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,825
×780

задан
17 Май '12 19:39

показан
1655 раз

обновлен
19 Май '12 22:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru