|
$$y' = 2x + 3y + 1.$$ Помогите решить, пожалуйста, не могу правильно разделить переменные. задан 17 Май '12 19:39 
tkoff |
|
Ваше уравнение вида $%{ y }^{ \prime }+p\left( x \right) \cdot y=f\left( x \right)$% ($%p(x)= -3, f(x)=2x+1$%) - линейное первого порядка. Представьте искомую функцию в виде $%y\left( x \right) =u\left( x \right) \cdot v\left( x \right)$%. Уравнение примет вид $%{ u }^{ \prime }v+{ v }^{ \prime }u-3uv=2x+1\Longleftrightarrow { u }^{ \prime }v+u\left( { v }^{ \prime }-3v \right) =2x+1$%. Функцию $%v$% найдите из условия $%{ v }^{ \prime }-3v=0,\quad v={ e }^{ 3x }$%. Для нахождения функции $%u$% решите уравнение $%{ u }^{ \prime }v=2x+1$% ( с разделяющимися переменными). отвечен 17 Май '12 20:43 
Anatoliy |
|
Это линейное уравнение, решение можно искать по схеме "общее решение однородного ур-я + частное решение неоднородного". Однородное ур-е $%y'=3y $%, его общее решение $%y=C\cdot e^{3x} $%. Частное решение неоднородного ур-я с линейной правой частью можно искать в виде линейной ф-ии $%y_1=ax+b$%, подставив в ур-е, найдем $%a=-2/3$%, $%b=-5/9$%. Ответ: $%y=C\cdot e^{3x}-\frac{2}{3} x-\frac{5}{9}$% отвечен 18 Май '12 23:29 
Андрей Юрьевич Это решение самое короткое.
(19 Май '12 22:51)
DocentI
|
|
1) $%dy/dx = 2x; y_1 = x^2;$% отвечен 17 Май '12 20:37 
nikolaykruzh... в 1) dy/dx разве не равно 2x +1?
(17 Май '12 21:11)
tkoff
1
Предложенный мною метод решения ошибочен. Надо искать решение по @Anatoliy
(18 Май '12 8:37)
nikolaykruzh...
1
Можно взять 1)dy/dx = 2x + 1; 2)dy/dx = 3y. Результат будет тот же самый(см. выше: Решение). Постоянные интегрирования условно приняты равными нулю. Проверка правильная: я восстановил ошибочно пропущенную цифру 3 перед y. Надпись об ошибочности метода внесена в раздражённом состоянии: не хочет решать по-простому, пусть решает по-сложному.Потом остыл. Спасибо уважаемой @DocentI за правку моего текста.
(18 Май '12 19:57)
nikolaykruzh...
Нет, так неправильно. Если $%y=y_1+y_2 $%, то $%y_1'+y_2'=2x+3y_1+3y_2+1$%. поэтому, если $%y_1'=2x$%, то $%y_2'=3y_1+3y_2+1$%, а не $%3y_2+1$%.
(18 Май '12 23:49)
Андрей Юрьевич
Спасибо за поправку, Андрей Юрьвич, но возникает попутный вопрос; как из Ответа выйти на исходное уравнение? Я сейчас действую по пословице: "Если не знаешь выхода - не входи", хотя, конечно. много раз нарушал требование этой народной мудрости
(19 Май '12 17:42)
nikolaykruzh...
Вы имеете в виду мой ответ? Подставить в уравнение и убедиться, что это решение.
(19 Май '12 19:46)
Андрей Юрьевич
Убедился, хотя не доверять Вам - не уважать себя. Но - не верю, пока не пощупаю. Уж таков по натуре.
(19 Май '12 20:21)
nikolaykruzh...
2
Математика - наука точная, истина в ней всегда конкретна, абсолютна и объективна, уважение тут ни при чем.
(19 Май '12 21:49)
Андрей Юрьевич
@nikolaykruzh... Что именно Вам не нравится в решении А.Ю.? Разве что, он не показал, как именно подставлять частное решение вида $%y=ax+b$% в уравнение.
(19 Май '12 22:56)
DocentI
показано 5 из 10
показать еще 5
|
Проверьте условие.
Так они и не разделяются!