Пусть $%a$% и $%b$% действительные числа, удовлетворяющие уравнениям $%a4+a2b2+b4=756$%, $%a2+ab+b2=18$%. Найдите значение $%2ab$%.

задан 8 Янв '15 12:04

изменен 17 Янв '15 17:33

EdwardTurJ's gravatar image


5041135

@lEO, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(9 Янв '15 22:14) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Домножая второе условие на $%a-b$%, получаем $%18(a-b)=a^3-b^3$% с учётом формулы разности кубов. Аналогично, $%756(a^2-b^2)=a^6-b^6$%.

Легко видеть, что $%a\ne b$% (в противном случае $%a^2=6$% из второго уравнения, что противоречит первому). Аналогично убеждаемся, что $%a\ne-b$%.

Поделим почленно второе из полученных выше равенств на первое. Это даст $%42(a+b)=a^3+b^3$%, откуда после сокращения на $%a+b$% возникает равенство $%a^2-ab+b^2=42$%. Вместе со вторым уравнением из условия это даёт $%a^2+b^2=30$% и $%ab=-12$%. Тогда $%(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=6$% и $%(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=54$%. Следовательно, $%a+b=\pm\sqrt6$% и $%a-b=\pm3\sqrt6$%. Это приводит к четырём парам, каждая из которых подходит при проверке. Одна из пар равна $%(2\sqrt6;-\sqrt6)$%, а остальные получаются из неё перестановкой координат и одновременной сменой знака чисел.

ссылка

отвечен 8 Янв '15 12:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797

задан
8 Янв '15 12:04

показан
674 раза

обновлен
17 Янв '15 17:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru