Используя характеристическую функцию, вычислить математическое ожидание и дисперсию распределения Пуассона.

задан 8 Янв '15 14:57

Все эти величины легко вычисляются из определения. См. здесь.

(8 Янв '15 15:02) falcao

@falcao, "используя характеристическую функцию". Я нашла, что нужно взять производную от хар. функции распределения Пуассона, т.е. от $%e^{- \lambda } * e^{\lambda*e^{it}}$%. И потом каким-то образом всё сократится и получится $%\lambda$%

(8 Янв '15 15:09) ekaterina1

Не обратил внимания на условие "используя характеристическую функцию". Конечно, сами по себе матожидание и дисперсия могут быть найдены из определения, но здесь надо разложить х.ф. по формуле Тейлора до второго члена, откуда станут известны $%MX$% и $%MX^2$% через коэффициенты разложения.

(8 Янв '15 15:09) falcao

$%MX=-i\varphi'(0)$%; $%MX^2=-\varphi''(0)$%

(8 Янв '15 15:15) falcao

Да, да, я про это. И разложение по Тейлору там тоже нужно, как от экспоненты, с этим и проблема

(8 Янв '15 15:26) ekaterina1

@ekaterina1: а что именно вызывает трудности? Нужно найти первую и вторую производную функции типа двойной экспоненты, потом подставить нули вместо аргумента. Само разложение до второго члена определяется первыми двумя производными. Его, конечно, можно получить и через разложение экспоненты: сначала "внутренней", а потом "внешней".

(8 Янв '15 19:56) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

$%\exp(it)-1=it-\frac12t^2+o(t^2)$% при $%t\to0$%

$%\exp(\lambda(\exp(i\lambda t)-1))=\exp(i\lambda t-\frac12\lambda t^2+o(t^2))=1+i\lambda t-\frac12\lambda t^2-\frac12\lambda^2t^2+o(t^2)$%, то есть получается $%MX=\lambda$% и $%MX^2=\lambda+\lambda^2$%, откуда $%DX=\lambda$%.

ссылка

отвечен 8 Янв '15 20:03

Спасибо. А λ для MX откуда именно получать? Из iλt или 1/2λt^2 ?

(8 Янв '15 23:11) ekaterina1

Коэффициент при $%t$% равен $%\varphi'(0)$%. Поэтому $%MX=-i\varphi'(0)=\lambda$% по формуле, указанной в комментарии. Коэффициент при $%t^2$% равен $%\frac12\varphi''(0)$%, а $%MX^2=-\varphi''(0)$%.

(8 Янв '15 23:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,843

задан
8 Янв '15 14:57

показан
279 раз

обновлен
8 Янв '15 23:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru