Десятичная запись целого числа $%P= \underbrace{aa...aa}6 \underbrace{bbb...bb}4 $%, использует цифры $%a \neq 0; b \neq 0$%. В числе Р цифры $%a$% и $%b$% встречаются по $%n$% раз. Известно, что $% \sqrt{P}$% целое число при любых $%n$%. Найти $%a+b$%.

Я решил эту задачу практически подбором, получил числа $%a = 4; b = 2$% и потом просто проверил несколько случаев при разных значениях $%n$%. Нет ли более обоснованного способа решения этой задачи? Заранее благодарен.

задан 9 Янв '15 2:22

изменен 9 Янв '15 13:26

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Можно начать с разбора случая $%n=1$%. При этом приходится возводить в квадрат двузначные числа, оканчивающиеся на 2 или 8, и начинающиеся с цифры от 4 до 9. Этих вариантов не так много. Среди них надо выделить те, где вторая цифра равна 6. Их всего два: это $%68^2=4624$% и $%98^2=9604$%. Последний вариант даёт также "хорошую" серию, но он не подходит под условие из-за наличия нулей.

Теперь остаётся доказать для общего случая, что имеет место следующая серия равенств: $%68^2=4624$%, $%668^2=446224$%, $%6668^2=44462224$% и так далее. Проверки для нескольких отдельных значений не достаточно: такого рода закономерности легко могут нарушаться при десятичном умножении.

Число вида 1...1 из $%n$% единиц записывается как $%\frac19(10^n-1)$%. Исходя из этого, мы представляем число $%6...68$% с участием $%n$% шестёрок как $%\frac{20}3(10^n-1)+8$% и возводим его в квадрат. Получается $%(\frac{20}310^n+\frac43)^2=\frac{16}9(25\cdot10^{2n}+10^{n+1}+1)$%.

С другой стороны, число из условия задачи при $%a=4$%, $%b=2$% равно $%\frac{4}9(10^n-1)10^{n+2}+6\cdot10^{n+1}+\frac{2}9(10^n-1)\cdot10+4$%, и после тождественных преобразований получается то же самое.

ссылка

отвечен 9 Янв '15 11:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×120

задан
9 Янв '15 2:22

показан
420 раз

обновлен
9 Янв '15 11:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru