|
$$1 + (y')2 = 2yy''$$ $$y'=p$$ $$y''=pdp/dy$$ $$1+p^2 = 2yp(dp/dy)$$ $$2ypdp/(1+p^2) = (dy/y)\cdot (1/2)$$ Поправка @DocentI, должно быть $${2pdp\over 1+p^2} = {dy\over y}$$ $$0.5\ln|1+p^2| = 1/2\cdot\ln|y| + 1/2\cdot \ln|C_1|$$ $$1+p^2 = C_1y$$ $$p= \pm(C_1y-1)^{1/2}$$ Подскажите, для таких уравнений в каком виде правильно записать ответ? задан 17 Май '12 21:01 
tkoff |
|
Все правильно, дальше нужно вспомнить, что $%p=dy/dx $%, т.е. $%dy/dx=\pm \sqrt{C_1y-1} $% или $%dx=\pm dy/\sqrt{C_1y-1} $%. Последнее выражение легко интегрируется, в результате получается общее решение в виде $%x=x(y,C_1, C_2)$%. отвечен 17 Май '12 23:01 
Андрей Юрьевич Спасибо! Разобрался) Подскажите, в каком виде записывать ответ? {x = ответ? } или как то иначе?
(17 Май '12 23:58)
tkoff
Можно так, можно перенести все в левую часть, а в правой написать ноль - это уже дело вкуса. Главное - получено алгебраическое уравнение семейства интегральных кривых - это и есть ответ.
(18 Май '12 0:14)
Андрей Юрьевич
Сомневаюсь.
(18 Май '12 0:18)
Галактион
В чем именно?
(18 Май '12 0:19)
Андрей Юрьевич
В том, что общее решение имеет вид x = x(y, a, b), где а и b - постоянные.
(18 Май '12 0:23)
Галактион
А какой оно имеет вид?
(18 Май '12 0:26)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
$% (1.0) \ \ y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \rightarrow y' = p(y) \wedge y'' = p(y) \cdot \frac{d p(y)}{dy}$% $% (1.1) \ \ (1.0) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow \begin {cases} y' = p(y) \wedge y'' = p(y) \cdot \frac{d p(y)}{dy} \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} $% $% (1.2) \ \ y' = p(y) \wedge y'' = p(y) \cdot \frac{d p(y)}{dy} \wedge 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \rightarrow 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} $% $% (1.3) \ \ (1.1) \wedge (1.2) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} $% $% (2.0) \ \ \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \rightarrow y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R}\wedge\frac{dy}{y} = \frac{2p(y) \cdot dp(y)}{1 + p^2(y)} \\ y = 0 \wedge 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \rightarrow p(y) \in \{i, -i\} \end {cases}$% $% (2.1) \ \ (2.0) \Rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \\ 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \end {cases} \rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R}\\ \frac{dy}{y} = \frac{2p(y) \cdot dp(y)}{1 + p^2(y)} \end {cases} $% $% (2.2) \ \ y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R}\wedge\frac{dy}{y} = \frac{2p(y) \cdot dp(y)}{1 + p^2(y)} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \rightarrow p(y) \in \mathbb{R} \wedge p^2(y) = |ay| - 1 $% $% (2.3) \ \ p(y) \in \mathbb{R} \wedge p^2(y) = |ay| - 1 \rightarrow |ay| \geq 1 \wedge (p(y) = \sqrt{|ay| - 1} \ \vee \ p(y) = - \sqrt{|ay| - 1}) $% $% (2.4) \ \ (2.2) \wedge (2.3) \Rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ \frac{dy}{y} = \frac{2p(y) \cdot dp(y)}{1 + p^2(y)} \end {cases} \rightarrow \begin {cases}|ay| \geq 1 \\ p(y) \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases}$% $% (2.5) \ \ (2.1) \Rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \end {cases} \rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ \frac{dy}{y} = \frac{2p(y) \cdot dp(y)}{1 + p^2(y)} \end {cases} $% $% (2.6) \ \ (2.5) \wedge (2.4) \Rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \end {cases} \rightarrow \begin {cases}|ay| \geq 1 \\ p(y) \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} $% $% (2.7) \ \ (1.3) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow \begin {cases} y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + p^2(y) = 2y \cdot p(y) \cdot \frac{dp(y)}{dy} \end {cases} $% $% (2.8) \ \ (2.7) \wedge (2.6) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow \begin {cases}|ay| \geq 1 \\ p(y) \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} $% $% (2.9) \ \ (2.8) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = p(y) \\ |ay| \geq 1 \\ p(y) \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} $% $% (2.10) \ \ \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y' = p(y) \\ |ay| \geq 1 \\ p(y) \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} \rightarrow \begin {cases} |ay| \geq 1 \\ \frac{dy}{dx} \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} $% $% (2.11) \ \ (2.9) \wedge (2.10) \Rightarrow \begin {cases} y' = \frac{dy}{dx} \wedge y'' = \frac{dy'}{dx} \wedge y' = p(y) \\ y \neq 0 \wedge p(y) \in \mathbb{R} \wedge a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \\ 1 + (y')^2 = 2y \cdot y'' \end {cases} \rightarrow \begin {cases} |ay| \geq 1 \\ \frac{dy}{dx} \in \{\sqrt{|ay| - 1}, \ - \sqrt{|ay| - 1}\} \end {cases} $% отвечен 18 Май '12 1:46 
Галактион y=0 - это не решение данного ДУ.
(18 Май '12 1:58)
Андрей Юрьевич
извините, а как посмотреть ваш ответ в нормальном виде, то у меня абракадабра из функций какая то, не разберешься..
(18 Май '12 10:42)
tkoff
Не стоит стараний - у Галактиона всегда заумь. Абракадабра у всех - у меня пишет [Math Processing Error] - ошибка математического процессора
(18 Май '12 10:56)
DocentI
|