Найти наибольшее возможное произведение целых чисел, если они являются решениями системы: $% x^{2}+2y=5$%

$%x+4 y^{2} =17$%

Я выразил х через у: $% x=17-4 y^{2} $%, подставил в первое уравнение. Получилось уравнение четвертой степени: $%8 y^{4}-68 y^{2} +y+142=0$%. Подбором нашел $%y=2$%, разделил это уравнение на $% \big(y-2\big) $% и получил кубическое уравнение $%8 y^{3}+16 y^{2} -36y-71=0$%, у которого нет целых корней. При у = 2 получится х = 1, значит $%x \bullet y=2$%. Таким образом наибольшее возможное произведение целых чисел, которые являются решениями данной системы, будет равно 2. Правильно или я где-то допустил ошибку в рассуждениях? Заранее благодарен.

задан 9 Янв '15 17:31

изменен 9 Янв '15 19:06

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

@serg55: В примерах такого типа проверкой может служить https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B2y%3D5%2Cx%2B4y%5E2%3D17

(9 Янв '15 17:58) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно избежать длинных вычислений и проверок, если рассуждать следующим образом. Первое уравнение запишем как $%x^2-1+2(y-2)=0$%, а второе как $%x-1+4(y-2)(y+2)=0$%. Если $%x=1$%, то $%y=2$%, и наоборот, то есть имеется решение $%(x,y)=(1,2)$%. Пусть $%x\ne1$%, $%y\ne2$%. Если выразить $%2(y-2)$% из первого уравнения и подставить во второе, сокращая на $%x-1$%, то получится равенство, в котором нечётное число равно чётному. Значит, других целочисленных решений не имеется. Можно также заметить, что $%x-1$% кратно $%2(y-2)$% и наоборот. Тогда эти числа равны по модулю, откуда легко выводится противоречие.

ссылка

отвечен 9 Янв '15 18:54

serg55 Да извините, немного увлекся

(9 Янв '15 19:04) sliy

@falcao: Составители задачи почему-то считают, что наш ответ: наибольшее возможное произведение целых чисел, которые являются решениями данной системы равно 2 неверным. Неужели в наших решениях где-то есть ошибка? Заранее благодарен.

(9 Янв '15 19:40) serg55
1

@serg55: здесь в решении всё достаточно "прозрачно". Думаю, это ошибки автоматической системы (причём, судя по всему, уже не первые).

(9 Янв '15 19:52) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,769

задан
9 Янв '15 17:31

показан
434 раза

обновлен
9 Янв '15 19:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru