Решить однородное рекуррентное уравнение и найти производящую функцию порождаемой им последовательности $%a_k$%: $%a_{n+3}=7a_{n+1}+6a_n$%; $%a_1=14$%, $%a_2=18$%, $%a_3=98$%.

Я нашла общее решение: $%a_n = c_1(-1)^n + c_2(-2)^n + c_33^n$%, также нашла коэффициенты $%c_1=-1$%, $%c_2=-2$%, $%c_3=3$%; производящая функция в общем виде $%G(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 +…$%, необходимо представить производящую функцию в дробном виде и уже в этом виде находить $%G(x)$%.
Помогите найти производящую функцию порождаемой им последовательности $%a_k$%.

задан 9 Янв '15 22:03

изменен 10 Янв '15 19:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%G(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz_n$% -- производящая функция. Домножим рекуррентное соотношение на $%z^{n+3}$% и просуммируем по $%n$% от нуля до бесконечности: $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n+3}z^{n+3}=7z^2\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n+1}+6z^3\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n.$$ В левой части находится сумма $%a_3z^3+a_4z^4+\cdots$%, то есть это производящая функция без нескольких начальных членов. Аналогично для первой из сумм в правой части. Из этих соображений получается уравнение $%G(z)-a_0-a_1z-a_2z^2=7z^2(G(z)-a_0)+6z^3G(z)$%. Решая его как линейное относительно неизвестной $%G(z)$%, получаем представление $%G(z)$% в виде рациональной функции (частного двух многочленов): $$G(z)=\frac{a_0+a_1z+(a_2-7a_0)z^2}{1-7z^2-6z^3}.$$ В условии не указано значение $%a_0$%, но оно может быть вычислено из рекуррентного соотношения в обратную сторону, и получается $%a_0=0$%. Отсюда $$G(z)=\frac{14z+18z^2}{1-7z^2-6z^3}.$$

ссылка

отвечен 9 Янв '15 22:28

Благодарю!

(9 Янв '15 22:38) ДарьяИгрна
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797
×465
×234
×70
×65

задан
9 Янв '15 22:03

показан
517 раз

обновлен
9 Янв '15 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru