Найти минимум выражения $$\frac{99a^2+b^2+22c^2+d^2}{|ab+bc+cd+da|}.$$

задан 10 Янв '15 0:46

изменен 10 Янв '15 0:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

Числитель дроби не меньше $%2\sqrt{99a^2+22c^2}\sqrt{b^2+d^2}$%, а знаменатель равен $%|a+c||b+d|$%. Оценим по отдельности минимум каждого из выражений $%\frac{\sqrt{99a^2+22c^2}}{|a+c|}$% и $%\frac{\sqrt{b^2+d^2}}{|b+d|}$%.

Для второго выражения очевидна оценка $%\frac{\sqrt{b^2+d^2}}{|b+d|}\ge\frac1{\sqrt2}$% (из соображений типа сравнения среднего арифметического и среднего квадратического).

Для первого выражения $%\frac{\sqrt{99a^2+22c^2}}{|a+c|}\ge3\sqrt2$%, что проверяется возведением в квадрат. При этом получается равносильное неравенство $%(9a-2c)^2\ge0$%.

С учётом множителя 2 перед произведением, получается итоговая оценка снизу, равная $%2\frac1{\sqrt2}\cdot3\sqrt2=6$%. Равенство достигается, например, на наборе $%a=2$%, $%b=33$%, $%c=9$%, $%d=33$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '15 1:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×150

задан
10 Янв '15 0:46

показан
453 раза

обновлен
10 Янв '15 1:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru