Маша и Петя выписывают на доске различные положительные вещественные числа. За время большой перемены они выписали 2013 таких чисел. Оказалось, что для любого числа a > 0 количество чисел на доске, меньших 13/a, и количество чисел, больших a, имеют одинаковую четность. Чему может быть равно произведение всех чисел?

задан 10 Янв '15 1:22

изменен 10 Янв '15 1:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Полагая $%a=\sqrt{13}$%, получаем, что одинаковую чётности имеет количество чисел, меньших $%a$%, а также больших $%a$%. Отсюда следует, что на доске есть число $%\sqrt{13}$%.

Легко видеть, что остальные числа могут быть разбиты на пары, в которых произведение равно $%13$%. Действительно, если число $%b$% присутствует, а число $%13/b$% отсутствует на доске, то можно сначала положить $%b=a$%, получая информацию о чётности количества тех и других чисел, а затем немного изменить значение $%a$% в меньшую сторону таким образом, чтобы число $%b$% вошло в количество чисел, больших $%a$%. Можно сделать изменение столь незначительным, что на "статус" остальных чисел это никак не повлияет. Это ясно из тех соображений, что все числа попарно различны. После сделанного изменения поменяется чётность у одного из количеств, что влечёт противоречие.

Таким образом, произведение чисел будет равно произведению $%\sqrt{13}$%, умноженному на произведение чисел в 1006 парах. Получится $%13^{1006}\sqrt{13}$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '15 2:08

@falcao: Если я правильно понял решение, то в первом предложении должно быть записано "одинаковую четность имеет количество чисел меньших 13/а, а также больших а", а у Вас записано "меньших а". Или я не прав? Извините за беспокойство.

(10 Янв '15 2:33) serg55
1

@serg55: это одно и то же, поскольку $%13/a=a$%. Именно с этой целью и бралось значение, равно корню из 13.

(10 Янв '15 3:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,769

задан
10 Янв '15 1:22

показан
572 раза

обновлен
10 Янв '15 3:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru