2
1

По кругу расставили числа от 1 до 19 и посчитали все суммы трех подряд стоящих чисел. Какое наибольшее значение может принимать наименьшая из этих сумм?

задан 10 Янв '15 1:48

2

Пускай $%x$% - наибольшее значение наименьшей из указанных сумм. "Средняя" сумма трех подряд стоящих чисел равна 30, а поскольку две соседние суммы разные, то $%x\le29$%. Пример 1,13,14,2,11,16,4,9,18,6,7,19,8,5,17,10,3,15,12 показывает, что $%x\ge26$%.

(10 Янв '15 16:45) EdwardTurJ
2

@EdwardTurJ: я думал над этой задачей, но полного решения не знаю. Оценки у меня получились такие же, причём интересно то, что пример для 26 буквально совпал! Скорее всего, 29 можно как-то снизить до 28, а как более точно оценить, я не знаю.

(10 Янв '15 18:56) falcao
2

@EdwardTurJ: оценку сверху 28 можно получить так. Рассмотрим 6 троек без участия числа 19. Тогда среднее равно 57/2, поэтому найдётся тройка с суммой не больше 28. Судя по всему, эти соображения можно как-то усиливать. Задача сама по себе интересно выглядит.

(10 Янв '15 20:54) falcao
1

@Katarina: у меня пока нет полной ясности в этом вопросе, но я думаю, что скорее имеет смысл доказывать, что для 28 примера нет (для 29 его точно нет). То, что для 27 удалось построить, это очень хорошо. Думаю, что для 28 надо рассматривать тройки без одного заданного числа (там не только для 19, но и для 18, для 17 и для других чисел проходит рассуждение). То есть надо показать, что троек с суммой 28 должно быть много, и тогда уже из этого пытаться получить противоречие -- подобно тому, как это у Вас было для 10 чисел.

(11 Янв '15 13:40) falcao

falcao, спасибо Вам ..... Буду дальше думать...

(11 Янв '15 14:26) Katarina

Правильный ответ 28

(5 Фев '15 16:47) Katarina

@Katarina: я пока не знаю, как построить пример для 28 чисел, но условия там достаточно жёсткие, поэтому, если он существует, то можно попытаться его найти. Построение такого рода примеров -- вещь достаточно увлекательная.

(6 Фев '15 2:54) falcao

@Katarina, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(8 Фев '15 11:35) Виталина
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

1,19,9,5,14,13,4,11,16,2,10,18,3,8,17,6,7,15,12;

1,12,16,5,7,18,4,8,19,2,9,17,3,11,14,6,10,13,15

и другие

Добавление.

Составил программу. Последовательностей (даже в пределах рассмотренных расстановок чисел от 1 до 6) оказалось очень много. Наиболее интересные:

1,9,18,2,11,15,3,12,13,4,14,10,5,16,7,6,17,8,19

  • имеет максимально возможную сумму чисел для одной из троек, равную 44.

1,15,12,5,11,14,4,10,17,2,9,18,3,8,19,6,7,16,13

  • имеет максимальную (из проверенных) избыточность: можно уменьшить числа в последовательности суммарно на 5. В этой последовательности можно уменьшить на 1 любое одно из 8-ми последних чисел (19 можно уменьшить на 2).
ссылка

отвечен 8 Фев '15 1:08

изменен 8 Фев '15 6:01

@Urt: Как искали - программно?

(8 Фев '15 1:13) EdwardTurJ

Замечательные примеры!

(8 Фев '15 1:19) falcao

Наверное, можно составить программу, но можно и так: - числа «0-3» –все в разных тройках (нумеровал от 0 до 18); да и для «4» есть лишь один вариант попасть в тройку с «3»; - попробовал для простой расстановки 0-5 (см. последовательности – эти расстановки в них одинаковые), далее есть определенная логика заполнения. Возможно, найдется для случая 3,18,4 (?) – не пробовал.

(8 Фев '15 1:36) Urt

@Urt: я пробовал строить такой пример подбором, но не достиг цели.

Появление в одном из примеров суммы 38, совсем далеко уходящей от среднего значения (а ведь кажется, что и вверх, и вниз оно должно уходить не так далеко) произвело на меня сильное впечатление.

(8 Фев '15 2:16) falcao

@falcao, действительно, у этого примера удивительная избыточность: 7 чисел можно уменьшить на единицу, в то время как в первом примере таких чисел всего 2. В обоих примерах можно сделать по одной перестановке двух чисел.

(8 Фев '15 2:34) Urt
10|600 символов нужно символов осталось
1

Программа для максимизации минимальной суммы — здесь: https://www.dropbox.com/s/stm0iwfa6xti15p/28.cpp?dl=0 Программа отбирает тысячу случайных кругов и пытается максимизировать минимальную сумму для каждого. Она успешно достигает уровня 28.

ссылка

отвечен 1 Июл '16 17:56

изменен 1 Июл '16 17:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×960

задан
10 Янв '15 1:48

показан
1656 раз

обновлен
1 Июл '16 17:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru