Числа $%a$% и $%b$% таковы, что неравенство $%a \cos x+b \cos3x \leq 0$% выполняется при любых $%x$%. Найти наибольшее число $%b$%, при котором это возможно.

Я расписал тройной угол, вынес $%\cos x$%, а что дальше делать ума не приложу. Появилась такая идея. После вынесения за скобки $%\cos x$%, получим выражение $% \cos x \big(4b \cos x^{2}-3b+a \big) \leq 0 $%. Тогда получается, что при любых значениях $%a$% и $%b$% данное неравенство будет иметь конечное множество решений, т. к. $%\cos x$% всегда будет $% \leq 0$% или $% \geq 0$%, в зависимости от знака второго сомножителя. Таким образом, чтобы неравенство выполнялось при любом значении $%x$%, $%a$% и $%b$% должны быть равны $%0$%. Тогда получится $%0 \leq 0$%, при любом $%x$%. Правильно ли я рассуждаю? Помогите разобраться. Заранее благодарен.

задан 10 Янв '15 13:14

изменен 10 Янв '15 19:10

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Мне кажется, рассуждение будет более четким, если сослаться на нечетность функции $%y=t(4bt^2-3b+a)$%, где $%t=\cos x,|t|\leqslant 1$%. Поскольку $%t$% принимает произвольное значение от $%-1$% до $%1$%, то для выполнения неравенства функция должна быть тождественно нулевая. А так - да, Ваше рассуждение верное.

(10 Янв '15 15:21) cartesius
10|600 символов нужно символов осталось
1

Подставьте вместо $%x$% последовательно $%0,\pi/4,3\pi/4,\pi$%, получите: $$a+b\le0,a-b\le0,-a+b\le0,-a-b\le0.$$ Отсюда $%a=b=0$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '15 15:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,957

задан
10 Янв '15 13:14

показан
832 раза

обновлен
10 Янв '15 15:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru