Найти все решения в натуральных числах уравнения:

$$x!+9= y^3$$

Пожалуйста, помогите с решением!

задан 10 Янв '15 18:59

изменен 10 Янв '15 19:20

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%x\le2$% решений нет. Пусть $%x\ge3$%, тогда $%x!$% делится на 3. Следовательно, $%y^3$% кратно 3, откуда $%y$% кратно 3. В частности, $%y^3$% кратно 27, из чего можно заключить, что $%x!$% кратно 9, и при этом не кратно 27. Первое условие даёт $%x\ge6$%, а второе даёт $%x\le8$%, так как $%9!$% делится уже на $%3^4$%. Остаётся проверить значения $%x\in\{6;7;8\}$%. Первое даёт решение, так как $%6!+9=729=9^3$%. Два других значения не подходят, так как $%7!+9=5049$% заключено (строго) между $%17^3$% и $%18^3$%, а $%8!+9=40329$% не является кубом, так как оно делится на 9, но не на 27. В итоге имеем одно решение $%(6;9)$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '15 19:12

Спасибо за решение!

(10 Янв '15 19:18) rgab
10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%x\ge9$% левая часть делится на 3, но не делится на 27, правая же часть если делится на 3, то должна делится на 27. Противоречие.

Осталось перебрать случаи $%x<9$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '15 19:11

Спасибо за решение!

(10 Янв '15 19:18) rgab
10|600 символов нужно символов осталось
1

Кубы целых чисел не могут давать остаток 2 при делении на 7. Поэтому остаётся перебрать только первые 6 факториалов. Задача для детского сада.

ссылка

отвечен 30 Июн '15 2:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×797
×40

задан
10 Янв '15 18:59

показан
878 раз

обновлен
30 Июн '15 2:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru