В кубе $%ABCD A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$% с ребром 2 построены две окружности $% K_{1}$% и $% K_{2}$% , расположенные в пространстве. Первая $% K_{1}$% - в плоскости $%AC B_{1}$% , проходит через точки $%A, C, B_{1}$%. Вторая $% K_{2}$% - вписана в квадрат основания $%ABCD$%. Докажите, что окружности не имеют общих точек. Найти наименьшее расстояние между точками окружностей.

задан 10 Янв '15 20:13

Я знаю похожую задачу: одна окружность вписана в грань, другая описана, и грани соседние. Надо найти расстояние между окружностями. Хорошая задача сама по себе.

(10 Янв '15 20:51) falcao

@falcao: У меня получается следующее. Так как первая окружность $% K_{1}$% проходит через точку С, то я думаю, что наименьшее расстояние между окружностями будет расстояние от точки С до второй окружности $% K_{2}$%, которое равно диагонали квадрата основания минус диаметр второй окружности. Диаметр ее $%D=2$% - сторона квадрата, диагональ равна $%d=2 \sqrt{2} $%. Таким образом наименьшее расстояние между окружностями равно $%d-D=2 \sqrt{2}-2=2 \big( \sqrt{2}-1 \big) $% . Правильно я рассуждаю или нет? Заранее благодарен.

(10 Янв '15 21:20) serg55

@falcao: У меня появилась другая идея, она мне кажется более верной. Я провел прямую из точки $% B_{1}$% через точку второй окружности (точку Т) до пересечения с первой (точка М) и нашел длину этого отрезка МТ, как разницу между $% B_{1}M$% и $% B_{1}Т$% и он получился равным $% \frac{1}{ \sqrt{7} }$%, что меньше, чем первый результат. Или я опять не прав.

(10 Янв '15 22:00) serg55

@falcao: Извините ещё раз за беспокойство. Не могли бы Вы, если у Вас есть время, посмотреть эту задачу и помочь мне разобраться с ее решением, правильно ли я рассуждаю или нет? Задача на самом деле очень интересная и я уже второй день с ней мучаюсь. Заранее благодарен.

(11 Янв '15 17:35) serg55

@serg55: я вчера бегло просматривал условие. В той версии задачи, которую я знал раньше, окружности расположены в перпендикулярных плоскостях, и там рассуждение проще. А здесь надо думать над способом решения. В любом случае, здесь должно присутствовать доказательство, что найденное расстояние на самом деле минимально. Но тут надо сначала саму идею увидеть.

(11 Янв '15 17:40) falcao

@falcao: Я пытался ещё раз разобраться с этой задачей, но что-то ни одной приличной идеи так и не пришло в голову. Всё таки хотелось бы, если это Вас не очень затруднит разобраться с этой задачей. Ещё раз извините за беспокойство. Заранее благодарен.

(12 Янв '15 0:01) serg55

@serg55: Задачу нужно решать аналитически: записать уравнения двух окружностей и искать экстремум соответствующей функции. Бесплатный WolframAlpha эту задачу не решает. Как иначе доказать минимальность найденного значение, я не представляю.

(13 Янв '15 14:07) EdwardTurJ
1

@serg55: я в итоге задачу решил, и ответ получился сравнительно приличный: $%(\sqrt3-\sqrt2)/2$% для случая единичного куба. Решение технически не очень простое. Я сейчас постараюсь его изложить. Думаю, @EdwardTurJ прав насчёт необходимости аналитического подхода. А то могло быть так, что всё хорошо решалось бы за счёт подходящего дополнительного построения.

(13 Янв '15 15:51) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
3

Будем считать куб единичным. Поместим начало координат в точку $%B$%, а оси направим к вершинам $%C$%, $%A$%, $%B_1$% соответственно. Возьмём точку $%P(x,y,z)$% на окружности, описанной около $%AB_1C$%. При этом $%x+y+z=1$% (уравнение плоскости), а также $%(x-\frac13)^2+(y-\frac13)^2+(z-\frac13)^2=\frac23$%. Действительно, стороны треугольника равны $%\sqrt2$%, поэтому радиус описанной окружности равен $%\sqrt{2/3}$%, а координаты центра равны $%\frac13$%.

Подставляя $%z=1-x-y$% и упрощая, получаем такое уравнение: $%x^2+y^2+xy-x-y=0$%. Пусть $%P_1(x,y,0)$% -- проекция точки $%P$% на плоскость основания. Расстояние от $%P_1$% до ближайшей точки $%P_2$% окружности, вписанной в квадрат $%ABCD$%, равно $%|\sqrt{(x-\frac12)^2+(y-\frac12)^2}-\frac12|$%. Легко видеть, что величина под знаком квадратного корня равна $%x^2+y^2-x-y+\frac12=\frac12-xy$% для интересующих нас точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, полученному выше.

Таким образом, квадрат расстояния от точки $%P$% до ближайшей точки окружности основания равен $%d^2=PP_1^2+P_1P_2^2=z^2+(\sqrt{\frac12-xy}-\frac12)^2=(1-x-y)^2+\frac34-xy-\sqrt{\frac12-xy}$%, и эту величину нам надо минимизировать для всех точек, удовлетворяющих уравнению, связывающему $%x$% и $%y$%.

С учётом того, что обе рассматриваемые нами функции симметричны относительно $%x$% и $%y$%, удобно перейти к сумме и произведению, то есть положить $%p=x+y$% и $%q=xy$%, причём $%p^2\ge4q$% (условие на дискриминант). Тогда окажется, что $%x^2+y^2=p^2-2q$%, и из уравнения мы будем иметь $%p^2-q-p=0$%, то есть $%q=p^2-p$%. Из неравенства $%p^2\ge4q$% следует, что $%p\in[0;\frac43]$%. На этом множестве мы будем искать минимум квадрата расстояния, то есть $%d^2=f(p)=(1-p)^2+\frac34-q-\sqrt{\frac12-q}=\frac74-p-\sqrt{\frac12+p-p^2}$%.

Приравнивание производной нулю приводит к квадратному уравнению $%8p^2-8p-1=0$%. Положительный корень равен $%p=\frac12+\frac{\sqrt6}4$%. Нетрудно проверить по знаку производной, что это точка минимума. Для неё $%q=p^2-p=\frac18$%, поэтому минимальное значение величины $%d^2$% равно $%\frac{5-2\sqrt6}4$%. Квадратный корень из этой величины и будет расстоянием между окружностями: $%d_{\min}=\frac{\sqrt3-\sqrt2}2$%.

ссылка

отвечен 13 Янв '15 16:21

@falcao: Извините, пожалуйста, но Вы считали, что у Вас единичный куб, но по условию задачи ребро куба равно 2. Тогда получается, что надо полученное расстояние умножить на 2, чтобы получить ответ именно к этой задаче. Т.е. $%d_{min} = 2\cdot \frac{ \sqrt{3}- \sqrt{2} }{2}= \sqrt{3} -\sqrt{2} $% . Или я что-то не понял и не прав? Заранее благодарен.

(14 Янв '15 20:52) serg55
2

@serg55: да, для куба с ребром 2 длины увеличиваются в 2 раза, то есть в ответе получается разность двух квадратных корней. Видимо, авторы задачи на это и ориентировались, задавая длину куба. Решать же удобнее для единичного, как мне кажется.

(15 Янв '15 0:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×416

задан
10 Янв '15 20:13

показан
1603 раза

обновлен
15 Янв '15 0:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru