высшая-математика - Разложение функции в ряд Тейлора

Здесь находить производные не нужно. Достаточно воспользоваться свойством логарифма: $%\ln\frac{1+x}{1-x}=\ln(1+x)-\ln(1-x)$%, что верно для всех $%x$% вблизи нуля.

Далее используем разложения $%\ln(1+x)=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots$% и $%\ln(1-x)=-x-\frac12x^2-\frac13x^3-\frac14x^4-\cdots$%, беря их разность. Это даёт итоговое разложение $%\ln\frac{1+x}{1-x}=2x+\frac23x^3+\frac25x^5+\cdots+\frac2{2n+1}x^{2n+1}+\cdots$% при $%x\to0$%.