Найти наибольшее целое $%x$%, для которого $%4^{18}+ 4^{507}+ 4^{x-5} $% является квадратом целого числа.

задан 11 Янв '15 13:37

изменен 11 Янв '15 13:38

При $%x=268$% получим квадрат целого числа, правда, ниоткуда не следует, что это наибольшее целое $%x$%: $%(2^{18})^2+(2^{507})^2+2\cdot 2^{18}\cdot 2^{507}$%. При $%x=2+3k$%, $%k $%- натуральное, выражение делится на три, но не делится на девять, а потому не может быть точным квадратом; аналогично при $%x=3k, k>1, k -$% натуральное. При $%x=3k+1, k>1, k -$% натуральное, делится и на три, и на девять. Больше пока ничего не получилось

(11 Янв '15 14:03) Lyudmyla
10|600 символов нужно символов осталось
3

Предположим для начала, что $%x-5\ge18$% (ниже это будет подтверждено). Тогда можно разделить число на $%4^{18}$% с сохранением свойства быть точным квадратом. Получится $%4^{x-23}+4^{489}+1$%. Естественно попытаться приравнять это число к $%(2^{x-23}+1)^2$%, откуда $%4^{489}=2^{978}=2^{x-22}$%, то есть подходит значение $%x=1000$%.

Большего значения получиться не может, так как если $%4^{x-23}+4^{489}+1=n^2$%, то $%n\ge2^{x-23}+1$%. Случай равенства уже рассмотрен, а при $%n > 2^{x-23}+1$% получится $%4^{x-23}+4^{489}+1 > 4^{x-23}+2^{x-22}+1$%, то есть $%x < 1000$%.

ссылка

отвечен 11 Янв '15 14:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,760

задан
11 Янв '15 13:37

показан
692 раза

обновлен
11 Янв '15 14:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru