alt text

задан 11 Янв '15 16:47

изменен 11 Янв '15 20:35

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сначала надо рассмотреть определитель $%\Delta_n$% порядка $%n$%, строки которого устроены так: 14 4 0 0 0 ... , далее 12 14 4 0 0 ..., затем 0 12 14 4 0 ... и так далее, вплоть до последней строки 0 0 0 ... 12 14. Для него начальные значения равны $%\Delta_0=1$% и $%\Delta_1=14$%. Выведем рекуррентную формулу. Применяя разложение по первой строке, получаем, что число 14 умножается на $%\Delta_{n-1}$%, а следующее число строки, взятое со знаком "минус", умножается на определитель, который раскладываем по первому столбцу. Получается $%12\Delta_{n-2}$%. Всё это вместе приводит к формуле $%\Delta_n=14\Delta_{n-1}-48\Delta_{n-2}$% при $%n\ge2$%.

Рекуррентное соотношение решается стандартным методом. Сначала составляется характеристическое уравнение $%\lambda^2-14\lambda+48=0$%, корни которого равны 6 и 8 в силу теоремы Виета. Поэтому $%\Delta_n=C_1\cdot8^n+C_2\cdot6^n$%. Значения констант находим из начальных условий: $%C_1+C_2=\Delta_0=1$% и $%8C_1+6C_2=\Delta_1=14$%, откуда $%C_1=4$%, $%C_2=-3$%. Таким образом, $%\Delta_n=4\cdot8^n-3\cdot6^n$%.

Теперь выразим через $%\Delta_n$% определитель из условия. Удобно сначала прибавить ко второй строке первую, умноженную на $%-3$% и применить разложение по первому столбцу. Получается множитель 2 и определитель, который после разложения по первой строке (получившейся из второй строки) даст $%-17\Delta_{n-2}-4\cdot12\Delta_{n-3}$%. После несложных упрощений получается ответ $%25\cdot6^{n-1}-23\cdot8^{n-1}$% для исходного определителя $%n$%-го порядка.

ссылка

отвечен 11 Янв '15 18:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×91
×71

задан
11 Янв '15 16:47

показан
934 раза

обновлен
11 Янв '15 18:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru