$$\begin{array}{l} {\text{Решить неоднородную систему ОДУ методом вариации}}\\ {\text{произвольных постоянных}}{\text{.}}\\ \left\{ \begin{array}{l} \frac{{dx}}{{dt}} = 2x + 4y + \cos t\\ \frac{{dy}}{{dt}} = - 2 - 2y + \sin t \end{array} \right. \end{array}$$

задан 13 Янв '15 0:16

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, что справа во втором уравнении первым слагаемым стоит $%(-2x)$% ...

1) Выписываете матричное представление системы, то есть используемые для неё матрицы:
$$ X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} - \text{матрица неизвестных,} $$ $$ A=\begin{pmatrix}2&4\\-2&-2\end{pmatrix} - \text{матрица коэффициентов и} $$ $$ F=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix} - \text{матрица правой части.} $$

2) Решаете однородное уравнение (это достаточно типовая часть задания). Для этого сперва находите собственные числа матрицы как решение характеристического уравнения $%\det(A-\lambda E)=0$%, а затем находите соответствующие им собственные векторы как решение СЛАУ $%(A-\lambda E)H=0$%.
В Вашем примере $%\lambda_{1,2}=\pm2i$% и $%H_{1,2}=\begin{pmatrix}1+i\\-1\end{pmatrix}$%. В таком случае общее решение однородного уравнения имеет вид $$ X_0=C_1\,Re\left(H\cdot e^{\lambda t}\right)+C_2\,Im\left(H\cdot e^{\lambda t}\right), $$ где $$ H\cdot e^{\lambda t}=\begin{pmatrix}1+i\\-1\end{pmatrix}\cdot (\cos 2t + i\cdot\sin 2t). $$ Итого, решение имеет вид $$ X_0=C_1\begin{pmatrix}\cos 2t -\sin 2t\\ -\cos 2t \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix}\cos 2t +\sin 2t\\ -\sin 2t \end{pmatrix}. $$

3) Ищем решение неоднородного уравнения, полагая $%C_1,C_2$% функциями от $%t$%. Тогда при подстановке в систему ДУ $%X'=AX+F$% получаем СЛУ относительно производных новых искомых функций $$ \begin{pmatrix}\cos 2t -\sin 2t& \cos 2t +\sin 2t \\ -\cos 2t& -\sin 2t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1'\\C_2'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}, $$ откуда находим $%C_1',C_2'$% и интегрируем...

ссылка

отвечен 13 Янв '15 3:01

изменен 13 Янв '15 4:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3

задан
13 Янв '15 0:16

показан
408 раз

обновлен
13 Янв '15 4:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru