Задача: $% \omega $% - корень уравнения $% \omega^2 + \omega + 1 = 0$%; $% \lambda = 1 - \omega$%.
1) Показать, что $% 3 = -\lambda^2\omega^2 $%
2) Пользуясь пунктом 1) показать, что если $% \alpha = a + b\omega; \: a, b \in \mathbb Z$% и $% \alpha \equiv 1 (mod \: \lambda) $%, то $% \alpha^3 \equiv 1 (mod \: 9)$%

Первый пункт легко доказался, почему-то застряла на втором. Преподаватель, задавший задачу говорит, что не нужно обращать внимание на то, что в курсе сравнения рассматриваются для целых чисел а в задаче рассматриваются комплексные. Потому что представленный в задаче факт доказывается с помощью простых алгебраических преобразований, фактов, известных из задачи, ну, и элементарного понимания того, что такое сравнение по модулю.
Вроде бы в "арсенале" всё есть, но у меня пока ни одно преобразование над имеющимися фактами не привело даже к отдалённому подобию доказательства.
Буду рада, если кто-то подскажет продуктивный ход мысли по поводу этой задачи.

задан 13 Янв '15 16:00

изменен 13 Янв '15 17:03

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь рассматривается кольцо $%\mathbb Z[\omega]$%, состоящее из чисел вида $%a+b\omega$%, где $%a$% и $%b$% целые. Очевидно, что можно перейти к другому базису, записывая числа в виде $%a+b\lambda$% с новыми коэффициентами.

Заметим, что $%\lambda^2=(1-\omega)^2=1-2\omega+\omega^2=-3\omega$%. Фактически, это равенство из первого пункта: с учётом $%\omega^3=1$% можно произвести домножение на $%\omega^2$%. Мы будем опираться на это равенство в таком виде: $%\lambda^2=3(\lambda-1)$%.

Поскольку $%\omega$% -- обратимый элемент кольца, делимость на $%3$% равносильна делимости на $%\lambda^2$%. Соответственно, делимость на $%9$% равносильна делимости на $%\lambda^4$%. У нас имеется элемент $%\alpha$% такой, что $%\alpha-1$% делится на $%\lambda$% в кольце, то есть $%\alpha-1=\lambda(a+b\lambda)$% для некоторых целых $%a$%, $%b$%.

Понятно, что $%\alpha^3-1=(\alpha-1)\cdot(\alpha^2+\alpha+1)=(\alpha-1)\cdot((\alpha-1)^2+3(\alpha-1)+3)$%. Требуется доказать, что этот элемент делится в кольце на $%9$% (или,что равносильно, на $%3\lambda^2$%).

Первый сомножитель $%\alpha-1$% мы представляем как $%\lambda(a+b\lambda)$%, что даёт нам один сомножитель $%\lambda$% в произведении. Далее, $%(\alpha-1)^2=\lambda^2(a+b\lambda)^2=3(\lambda-1)(a+b\lambda)^2$%, и можно вынести множитель $%3$% для каждого из слагаемых в скобках. В итоге мы получим произведение множителя $%3\lambda$% на то, что останется после его вынесения, то есть на $%(a+b\lambda)\cdot((\lambda-1)(a+b\lambda)^2+\lambda(a+b\lambda)+1)$%. Осталось показать, что этот элемент делится на $%\lambda$% в кольце.

После раскрытия скобок можно не рассматривать те одночлены, куда входит $%\lambda$%. Останется свободный член $%a(1-a^2)$%, который делится на $%3$% в $%\mathbb Z$%, так как $%(a-1)a(a+1)$% есть произведение трёх последовательных целых чисел. Тем самым, он делится на $%3$% в рассматриваемом кольце, а потому и на $%\lambda$%, что завершает доказательство.

ссылка

отвечен 14 Янв '15 7:11

Спасибо большое!

(14 Янв '15 9:34) vulpecula
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,154
×591
×480

задан
13 Янв '15 16:00

показан
243 раза

обновлен
14 Янв '15 9:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru