У Пети 23 игрушки и 3 ящика, в каждый из которых можно положить не более 10 игрушек. Сколькими способами Петя может разложить игрушки?

задан 18 Май '12 4:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Разложим игрушки в ряд и к каждой прикрепим ярлык с номером ящика. По условию нам надо найти число строк вида (1, 2, 1,1, 3, 2, 3, 3, ..., 1) длиной 23, в каждой из которых числа 1, 2 и 3 повторяются не более 10 раз.

Метод подсчета предложить могу (и даже ответ), но красивой формулы не получается.
Можно рассуждать так. Рассмотрим различные разбиения 23 на слагаемые, не большие 10 (кстати, здесь была задача на подсчет количества таких комбинаций). Для каждого разбиения вида $%k + l + m = 23$% число вариантов расстановки ярлыков равно $%23! \over k!\cdot l!\cdot m!$%. Осталось подсчитать эти значения и сложить.

Например, так:
10+10+3, $%23! \over 10!\cdot 10!\cdot 3!$%, переставляя слагаемые получаем 3 таких числа;
10+9+4, $%23! \over 10!\cdot 9!\cdot 4!$%, переставляя слагаемые получаем 6 таких чисел;
и т.д., всего 8 вариантов.
Считать лучше на компьютере, например, на Excel.

Вслед за @Anatoliy даю свой ответ: $$3 \Big({23! \over 10!\cdot 10!\cdot 3!}+{23! \over 9!\cdot 9!\cdot 5!}+{23! \over 9!\cdot 9!\cdot 9!}+{23! \over 8!\cdot 8!\cdot 7!}\Big)+$$ $$+6\Big({23! \over 10!\cdot 9!\cdot 4!}+{23! \over 10!\cdot 8!\cdot 5!}+{23! \over 10!\cdot 7!\cdot 6!}+{23! \over 9!\cdot 8!\cdot 6!}\Big)$$

ссылка

отвечен 18 Май '12 9:12

изменен 18 Май '12 13:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Определимся: 1)ящики разные; 2)игрушки разные. Число 23 можно разбить на тройки чисел (с точностью до порядка следования):(3;10;10); (4;10;9); (5;10;8); (5;9;9);(6;10;7);(6;9;8); (7;9;7); (7;8;8). Если учитывать порядок, то троек выделенных жирным цветом будет в три раза больше, для остальных в 3! раз больше. Тогда число способов

$$N = 3!(C_{23}^4\cdot C_{19}^{10}+C_{23}^5\cdot C_{18}^{10}+C_{23}^6\cdot C_{17}^{10}+C_{23}^6\cdot C_{17}^{9})+$$ $$+3(C_{23}^{3}\cdot C_{20}^{10}+C_{23}^{5}\cdot C_{18}^{9}+C_{23}^{7}\cdot C_{16}^{9}+C_{23}^{7}\cdot C_{16}^{8})$$

ссылка

отвечен 18 Май '12 13:06

изменен 18 Май '12 14:20

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Формулы опять не отображались. Вроде поправила. По-моему, программа среагировала на то, что я знак равенства отделила пробелами...

(18 Май '12 13:16) DocentI

Все-таки вернула свою правку. Теперь у меня все хорошо видно. А у Вас?

(18 Май '12 13:55) DocentI

Все в порядке.

(18 Май '12 18:43) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×770

задан
18 Май '12 4:03

показан
989 раз

обновлен
18 Май '12 18:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru