При каких целых $%n$% число $%a = n^2 +3n + 1$% делится на $%55$%?

задан 14 Янв '15 22:40

изменен 14 Янв '15 23:01

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Исследуем отдельно вопрос о делимости на 5 и о делимости на 11.

Для первого случая, вычтя $%5n$%, получим, что $%n^2-2n+1=(n-1)^2$% кратно 5, то есть $%n-1$% делится на 5.

Для второго случая, вычтя $%11n$%, получим, что $%n^2-8n+1=(n-4)^2-15$% кратно 11. Это равносильно тому, что $%(n-4)^2-2^2=(n-2)(n-6)$% кратно 11, то есть $%n$% при делении на 11 даёт в остатке $%2$% или $%6$%.

Теперь мы можем заключить в силу китайской теоремы об остатках, что в каждом случае найдётся ровно одно число в пределах от 1 до 55 (или от 0 до 54), дающее заданные остатки при делении на 5 (это 1) и на 11 (это 2 или 6). Осталось найти эти два числа.

Выпишем числа вида $%11k+2$%: это 2, 13, 24, 35, 46, ... и так далее. Видно, что 46 подходит, так как даёт остаток 1 от деления на 5. Такое число, как мы знаем, всего одно, поэтому других можно не искать. Если же мы имеем дело с числом вида $%11k+6$%, то $%11k+5$% кратно 5, и можно положить $%k=0$%.

Таким образом, мы получили, что $%n\equiv6\pmod{55}$% или $%n\equiv46\pmod{55}$%.

ссылка

отвечен 15 Янв '15 1:01

@falcao, я рассуждал также, делал разбиение на делимость на 5 и 11, но я писал, что $%n^2 +3n +1 = 5k$%, а не $%5n$%, почему мы можем писать $%5n$%? Почему мы будем брать такое же количество пятерок, как и само $%n$%? А также в ответе у вас получается 6 и 46, но я решил эту задачу путем перебора с помощью программы, и там много решений, они чередуются таким образом 6,46,61,101 то есть $%n$%, $%n+40$%, $%(n+40)+15$% и так далее чередуется сумма предыдущего с число 15 или 40. А также можете объяснить почему вы предлагаете выписать числа $%11k+2$%?

(15 Янв '15 1:13) Leva319
1

У меня нигде нет условия, что $%n^2+3n+1$% равно $%5n$%. Есть только условие, что $%n^2+3n+1$% делится на 5. Поскольку $%5n$% заведомо делится на 5, условие "$%(n^2+3n+1)-5n$% делится на 5" будет равносильным. Это приём, с помощью которого нечётный коэффициент при $%n$% становится чётным, и тогда выделяется полный квадрат.

Что касается решений, то их бесконечно много с периодом 55. Тут две серии: $%n=55m+6$% и $%n=55m+46$%, где $%m\in\mathbb Z$%. Это равносильно тому, что написано на языке сравнений.

Числа $%n=11k+2$% рассматриваются в рамках случая, когда $%n$% даёт остаток 2 по модулю 11.

(15 Янв '15 1:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×591
×522

задан
14 Янв '15 22:40

показан
662 раза

обновлен
15 Янв '15 1:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru