Найти первообразную функции $%f(x)=\frac {\sin x \cdot \cos x}{\sin x+ \cos x}$%.

задан 15 Янв '15 12:37

изменен 15 Янв '15 12:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Применили формулу синуса двойного угла в числителе, а в знаменателе - метод дополнительного аргумента... $$ \int \frac{\sin(2x)}{2\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}\;dx... $$ сделали замену $%z=x+\frac{\pi}{4}$% ... расписали в числителе получившийся косинус двойного угла ... и получили комбинацию двух интегралов - один табличный, а второй $$ \int \frac{1}{\sin(z)}\;dz, $$ который можно при помощи универсальной тригонометрической подстановки вычислить...

================================

ЗЫ: Если не ошибся, то ответ имеет вид $$ \frac{1}{2\sqrt{2}}\;\ln\left|tg\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\right|+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+C $$

ссылка

отвечен 15 Янв '15 14:05

изменен 18 Янв '15 14:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сделать замену $%\sin x+\cos x=t$%, тогда $%\sin x \cos x= \frac{t^2-1}{2}$%. Потом $%\int f(x)dx = \frac{1}{2} \int t-\frac{1}{t}dt$% взять легко.

ссылка

отвечен 15 Янв '15 17:34

изменен 15 Янв '15 22:44

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Танюша: у Вас не учтено изменение дифференциала. Вместо $%dx$% стало $%dt$%. На самом деле здесь первообразная имеет более сложный вид. Проще всего с самого начала применить универсальную тригонометрическую замену.

(15 Янв '15 18:44) falcao

Оops, прошу прощения, а все так хорошо было-то

(15 Янв '15 19:04) Танюша

@falcao, а чем в данном примере проще универсальная замена?... интеграл там получается типовой, но неприятный...

(18 Янв '15 12:24) all_exist

@all_exist: я имел в виду, что если не просматривается сразу какого-то хорошего решения с удачной заменой и коротким ответом, то чисто из практических соображений проще применить такую замену, так как с ней всё заведомо решается. У Вас ведь тоже она в конце применяется, но есть ещё промежуточные этапы. Я как следует это всё до конца не анализировал, но мне показалось, что сам вид ответа там будет громоздкий.

(18 Янв '15 12:50) falcao

@falcao, У Вас ведь тоже она в конце применяется - в том интеграле, где я её применяю получается сразу табличный интеграл... ответ напишу в своём ответе...

(18 Янв '15 14:06) all_exist

@all_exist: да, при Вашем способе решения в конце получается достаточно простой интеграл (фактически, табличный), то есть можно без использования универсальной замены вообще обойтись, домножив на синус числитель и знаменатель.

(18 Янв '15 15:05) falcao

@falcao, интеграл $%\int \frac{1}{1-x^2}dx$% не всегда считают табличным...

(18 Янв '15 16:03) all_exist

@all_exist: я согласен, но здесь можно рассуждать "по максимуму" и "по минимуму". Одна точка зрения: есть таблицы, где такой интеграл встречается. В этом смысле уже интеграл от косеканса встречается в готовом виде; я имел в виду именно это. Вторая точка зрения, мне более близкая, состоит в том, что помнить следует только минимум необходимого. В этом смысле, конечно, держать в памяти эти интегралы нет смысла -- проще вывести.

(18 Янв '15 16:08) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,116

задан
15 Янв '15 12:37

показан
403 раза

обновлен
18 Янв '15 16:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru