Как доказать утверждение: "надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда график лежит не ниже любой касательной".

Или скиньте ссылку, где это можно найти. Очень нужно. Заранее спасибо.

задан 15 Янв '15 19:10

изменен 15 Янв '15 21:51

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Этот вопрос был на форуме. Вот ссылка.

(16 Янв '15 1:11) falcao

@Алексей авт: это опечатка в тексте. Никаких кружков здесь нет. Имелось в виду "для каждого отрезка".

(16 Янв '15 1:19) falcao

Мне необходимо исходить из другого определения:"функция выпукла вверх если надграфиком является выпуклое множество". Исходя из этого определния нужно доказать, что надграфик функции является выпуклым множеством тогда и только тогда, когда график лежит не ниже любой касательной". Только из этого определения, а не из какого-то другого.

(16 Янв '15 1:20) gagarin

Как это можно сделать? Помогите, пожалуйста.

(16 Янв '15 1:32) gagarin

@Алексей авт, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(16 Янв '15 12:00) Виталина

Ниже не осталось места для комментариев. По поводу полуплоскости: там в первой части есть касательная, и она делит плоскость на две полуплоскости -- верхнюю и нижнюю. Именно о них потом и говорится. Это достаточно простая часть доказательства, и там всё должно быть понятно. Полезно также повторить определение выпуклого множества.

(17 Янв '15 23:22) falcao

Это понятно. Но если верхняя полуплоскость выпукла это еще не означает что надграфик тоже выпуклый. Как это следует? (в первой части).

(18 Янв '15 1:38) gagarin

@Алексей авт: конечно, из выпуклости полуплоскости не следует прямо выпуклость надграфика. Но у меня же рассуждение построено по-другому. Берутся две точки надграфика, рассматривается соединяющий их отрезок. Доказать надо, что все точки этого отрезка принадлежат надграфику. Рассуждая от противного, предполагаем, что это не так, и что на отрезке есть точка $%(x_0,y_0)$%, не принадлежащая надграфику. Далее это предположение приводится к противоречию. В тексте всё это подробно описано.

(18 Янв '15 10:22) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Вот рассуждение для той версии, где выпуклость функции определяется на основе касательных, а не хорд.

В одну сторону: предположим, что функция выпукла вниз, то есть график лежит не ниже любой касательной. Докажем, что надграфик будет выпуклым. Возьмём две точки надграфика: $%(x_1,y_1)$% и $%(x_2,y_2)$%, где $%y_i\ge f(x_i)$%. Рассмотрим отрезок, соединяющий точки $%(x_1,y_1)$% и $%(x_2,y_2)$%. Если на нём имеется точка $%(x_0,y_0)$%, не принадлежащая надграфику, то $%f(x_0) > y_0$%. Проведём в точке с абсциссой $%x_0$% касательную к графику. Согласно определению, график функции лежит в верхней полуплоскости, граница которой является касательной. То же верно для надграфика, поэтому обе точки $%(x_1,y_1)$% и $%(x_2,y_2)$% лежат в верхней полуплоскости. Ввиду того, что полуплоскость выпукла, все точки отрезка, соединяющего две наши точки, также лежат в этой полуплоскости. Значит, это верно для точки $%(x_0,y_0)$%. Но у нас по построению это не так: точка $%(x_0,y_0)$% лежит строго ниже точки $%(x_0,f(x_0))$%, лежащей на границе полуплоскости. Поэтому она лежит в нижней открытой полуплоскости -- противоречие.

В другую сторону: пусть надграфик является выпуклым. Рассмотрим касательную к графику в точке с абсциссой $%x_0$%. Предположим, что на графике имеется точка $%(x,f(x))$%, лежащая строго ниже касательной. Обе точки $%(x_0;f(x_0))$% и $%(x,f(x))$% принадлежат графику, а потому и надграфику. Значит, отрезок, соединяющий эти точки тоже принадлежит надграфику. Прямая, содержащая этот отрезок, не совпадает с касательной. Значит, её угловой коэффициент $%k$% не совпадает с $%f'(x_0)$%. Это значит, что сколь угодно близко к $%x_0$% имеются точки, для которых угловой коэффициент секущей будет отличаться от углового коэффициента касательной на некоторую фиксированную положительную величину, что противоречит определению касательной как предельного положения таких секущих.

ссылка

отвечен 16 Янв '15 3:42

@Алексей авт: а в чём сомнения? После уточнения определения я именно это доказательство и излагаю. Оно состоит из двух частей. Сначала дано, что график лежит не ниже любой касательной. В этом случае доказывается выпуклость надграфика. Далее во второй части доказывается обратное утверждение.

(16 Янв '15 10:54) falcao

@Алексей авт: рассуждение во второй части проводится "от противного". Там требуется доказать, что график лежит не ниже касательной. Мы предполагаем, что это не так, рассматривая точку графика, лежащую ниже касательной. То, что этого быть не может, становится ясно только после проведённого доказательства (а то было бы вообще нечего доказывать). Когда мы приходим к противоречию, это доказывает, что наше предположение было неверным. Это стандартный логический приём.

(17 Янв '15 21:44) falcao

@Алексей авт: если у секущих, проводимых сколь угодно близко к точке $%x_0$%, угловые коэффициенты не больше величины $%f'(x_0)-\varepsilon$%, где $%\varepsilon$% -- положительная константа, то предельное значение углового коэффициента будет не превосходить этой же величины по теореме о переходе к пределу в неравенствах. Но мы знаем, что это предельное значение должно быть равно $%f'(x_0)$%. Получается, что $%f'(x_0)\le f'(x_0)-\varepsilon$%, а это невозможно.

(17 Янв '15 21:58) falcao

@Алексей авт: это зависит от того, справа или слева от $%x_0$% расположена та точка $%(x,f(x))$%, которая находится строго ниже касательной. Если справа, то угловой коэффициент касательной будет больше. Если слева, то наоборот. Но здесь важно то, что угловые коэффициенты различаются на некую постоянную величину. Один случай легко сводится к другому, если развернуть ось абсцисс в другую сторону. На свойства касательных и на выпуклость эта процедура не влияет. А можно, если не лень, разобрать второй случай отдельно, но он будет полностью аналогичен.

(17 Янв '15 22:59) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,426
×134

задан
15 Янв '15 19:10

показан
482 раза

обновлен
18 Янв '15 10:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru