В конус вписаны шары касающиеся друг друга и одновременно конуса. Радиусы шаров относятся как 1:2. Найти отношение суммы объемов шаров к объему конуса.

задан 15 Янв '15 20:16

изменен 15 Янв '15 22:42

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Верик, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(16 Янв '15 11:59) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
0

Рассмотрим осевое сечение; это равнобедренный треугольник. Найдём его высоту $%h$% и основание $%2r$%, где $%r$% есть радиус основания конуса.

Можно считать, что длины радиусов равны 1 и 2, так как нас интересуют пропорции. Пусть $%x$% -- расстояние от центра окружности радиуса 1 до вершины треугольника. Тогда центр окружности радиуса 2 удалён от той же вершины на расстояние $%x+3$%. Опуская из центров окружностей перпендикуляры на боковые стороны, длины которых равны радиусам, получаем два подобных равнобедренных треугольника. Из них мы имеем пропорцию $%x:1=(x+3):2$%, откуда $%x=3$%. Тем самым,высота равна $%h=x+3+2=8$%, что легко понять, сделав рисунок.

У одного из прямоугольных треугольников, о которых шла речь, гипотенуза равна $%x=3$%, а один из катетов равен 1. По теореме Пифагора, второй катет равен $%2\sqrt2$%. Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами $%h$% и $%r$%. Он подобен двум рассмотренным ранее, так как острый угол при вершине тот же. Тогда имеет место пропорция $%h:r=2\sqrt2:1$%, и $%r=2\sqrt2$%.

Объём конуса равен $%V=\frac13\pi r^2h=\frac{64}3\pi$%. Сумма объёмов шаров равна $%\frac43\pi(1^3+2^3)=12\pi$%. Отсюда находим отношение, равное $%\frac9{16}$%.

ссылка

отвечен 16 Янв '15 3:53

Спасибо, я нашла высоту, потом застопорилось...

(18 Янв '15 8:08) Верик
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394

задан
15 Янв '15 20:16

показан
2828 раз

обновлен
18 Янв '15 8:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru