В угол величиной 60 градусов вписаны три попарно касающиеся друг друга окружности, сумма радиусов которых равна 8. Найти радиус наибольшей из них. Ответ 72/13.

задан 15 Янв '15 21:25

изменен 15 Янв '15 22:27

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%O_1,O_2,O_3$% - центры этих окружностей, $%R_1>R_2>R_3$% - их радиусы, $%A_1,A_2,A_3$% - проекции центров на одну из сторон угла, $%B_1$% - проекция $%O_2$% на $%O_1A_1$%. то из $%\triangle O_1O_2B_1$% имеем $%R_1+R_2=2(R_1-R_2)$%, то есть $%R_1=3R_2$%. Аналогично $%R_2=3R_3$%. Отсюда $%R_1=\frac{72}{13}$%.

ссылка

отвечен 15 Янв '15 22:45

изменен 15 Янв '15 22:46

А можно поподробней?

(19 Янв '15 16:30) hgf

@hgf: Пишите, что не понятно.

(19 Янв '15 21:27) EdwardTurJ

как из треугольника О1О2В получили сумму радиусов, равную произведению двойки на разность радиусов?

(9 Фев '15 15:28) Roar

@Roar: расстояние между центрами окружностей равно $%R_1+R_2$%. Это гипотенуза прямоугольного треугольника, который назван в решении. Острый угол там равен 30 градусам, и противолежащий ему катет равен $%R_1-R_2$%, что легко увидеть, сделав рисунок. По известному свойству, гипотенуза вдвое длиннее этого катета.

(9 Фев '15 15:37) falcao

получается, что 2 окружности будут касаться внешним образом, а располагаться внутри третьей (внутреннее касание)?

(9 Фев '15 15:46) Roar

@Roar: в рассуждении про $%R_1$% и $%R_2$% третья окружность не участвует. Вообще, я не уверен в том, что условие задачи не было изменено по ходу дела. На форуме звучало несколько похожих задач, и здесь я поначалу подумал, что три окружности устроены так: сначала вписана самая маленькая, потом её и сторон угла касается средняя по величине, а потом её касается самая большая. Тогда отношения радиусов будут 1:3:9, и всё просто. Если же расположение другое, то про третью окружность надо отдельно рассуждать, и ответ будет не такой. Полезно поискать похожие условия по ключевым словам.

(9 Фев '15 16:04) falcao

@Roar: с учётом того, что в условии указан ответ 72/13, имелось в виду другое расположение окружностей -- более простое, нежели описано в условии. То есть его тогда таким и надо считать.

(9 Фев '15 16:06) falcao

так значит, сначала вписана самая маленькая, потом её и сторон угла касается средняя по величине, а потом её касается самая большая? другое расположение действительно трудно решается.

(9 Фев '15 16:17) Roar
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,395
×219
×75
×19

задан
15 Янв '15 21:25

показан
773 раза

обновлен
9 Фев '15 16:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru