Найти все многочлены $%P(x,y)$% такие, что для любых действительных $%x$% и $%y$% $$P(x,y)=P(x-1,y-2x+1).$$

задан 16 Янв '15 15:41

10|600 символов нужно символов осталось
1

Ответ получился такой: $%P(x,y)=T(y-x^2)$%, где $%T$% -- многочлен от одной переменной.

Разделим $%P(x,y)$% с остатком на $%y-x^2$% в кольце $%\mathbb{R}[x][y]$%. Получим $%P(x,y)=(y-x^2)Q(x,y)+R(x)$%. При этом $%P(x-1,y-2x+1)$% равно $%(y-2x+1-(x-1)^2)Q(x-1,y-2x+1)+R(x-1)$%, то есть $%(y-x^2)Q(x-1,y-2x+1)+R(x-1)$%. В силу единственности частного и остатка это даёт $%Q(x,y)=Q(x-1,y-2x+1)$% и $%R(x)=R(x-1)$%. Второе условие означает, что $%R(x)$% является константой. Проводя индукцию по степени многочлена $%P$% по переменной $%y$%, приходим к требуемому выводу.

ссылка

отвечен 16 Янв '15 18:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×490
×106

задан
16 Янв '15 15:41

показан
1440 раз

обновлен
24 Янв '15 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru