|
В треугольнике $%ABC$% со сторонами $%BC=12$%, $%AB=17$%, $%CA=10$%, из вершины $%B$% опущены перпендикуляры $%BD$% и $%BE$% на биссектрисы углов $%BAC$% и $%BCA$% соответственно. Найдите длину отрезка $%DE$%. задан 16 Янв '15 17:20 
Антон Коваль |
|
Пусть $%I$% -- точка пересечения биссектрис. Построим на отрезке $%BI$% окружность как на диаметре. Она пройдёт через точки $%D$% и $%E$% по свойству прямого угла, опирающегося на диаметр. По той же причине она пройдёт через точки $%C_1$% и $%A_1$% касания вписанной окружности со сторонами $%AB$% и $%BC$%. Хорошо известно, что $%BA_1=BC_1=p-b$%, где $%p$% -- полупериметр, $%b=AC$%. Угол $%BA_1C_1$% равен $%90^{\circ}-\beta/2$% из равнобедренного треугольника $%A_1BC_1$% с углом $%\beta$% при вершине $%B$%. Этот угол является вписанным, и он опирается на хорду длиной $%p-b$%. Теперь рассмотрим вписанный угол $%DBE$%, опирающийся на хорду $%DE$%. Его величина равна $%180^{\circ}-\angle DIE=\alpha/2+\gamma/2=90^{\circ}-\beta/2$%, то есть такая же, как и у рассмотренного выше угла. Поскольку вписанные углы равны, то равны угловые величины дуг, а потому и стягивающие их хорды. Тем самым, $%DE=p-b=\frac{12+17+10}2-10=\frac{19}2$%. отвечен 16 Янв '15 17:51 
falcao |
@Артем Некифоров: Где условие решённой задачи?
Условие исказилось по сравнению с тем, что было раньше. Изменились обозначения, и исчезли некоторые из длин (в результате чего задача перестала иметь решение). Восстанавливаю оригинал, и прошу больше ничего не портить.