Известно, что для $%8$% чисел верно равенство $%x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7+x_8= \frac{4}{3}$%, причем сумма любых семи из этих $%8$% чисел положительна. Найти все значения наименьшего из этих $%8$% чисел.

Решаю так: пусть $%x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le x_5 \le x_6 \le x_7 \le x_8$%. Тогда $%x_8>0$%. Также по условию $%x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7>0$%, поэтому $%x_8 < \frac{4}{3}$%. Откуда $%x_2+x_3+x_4+x_5+x_6+x_7 < 6 x_8 < 6 \cdot \frac{4}{3} = 8$%. Значит $%x_1>-8$%.

Все ведь верно, получается, что просто $%x_1>-8$%?

задан 16 Янв '15 20:07

изменен 23 Янв '15 9:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь надо также заметить, что $%8x_1\le x_1+\cdots+x_8=\frac43$%, откуда $%x_1\le\frac16$%. Теперь надо ещё показать, что для всякого значения $%x_1\in(-8;\frac16]$% имеется соответствующий пример, то есть каждое из указанных значений наименьшее число может принимать.

Зафиксируем значение $%x_1$% в указанных пределах и положим $%x_2=x_3=\cdots=x_8=\frac17(\frac43-x_1)$%. Сумма всех чисел равна $%\frac43$%. Проверим, что $%x_1$% действительно наименьшее. Это значит, что $%x_1\le\frac17(\frac43-x_1)$%, что равносильно $%7x_1\le\frac43-x_1$%, то есть $%x_1\le\frac16$%, а это условие нами учтено.

Осталось проверить, что сумма любых семи чисел положительна. Ввиду того, что $%x_1$% наименьшее, достаточно проверить это условие для семи чисел с участием $%x_1$%. Получается $%x_1+\frac67(\frac43-x_1) > 0$%, что равносильно $%x_1 > -8$%, и это тоже учтено.

Таким образом, $%x_1\in(-8;\frac16]$%.

ссылка

отвечен 17 Янв '15 9:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,152

задан
16 Янв '15 20:07

показан
178 раз

обновлен
23 Янв '15 9:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru