Добрый день.
Помогите, пожалуйста, с заданием:
Нужно изобразить на комплексной плоскости множество точек удовлетворяющих неравенству: $%Re \ z^4 > Im \ z^4$%.
Заранее благодарен.

задан 17 Янв '15 10:46

изменен 17 Янв '15 13:07

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Узнал как решать, но все равно не понимаю. Нужно $%z$% заменить на $%x+iy$% подставить в неравенство, приравнять его и найти точки. Помогите, пожалуйста.

(17 Янв '15 15:12) Fizik
10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%z=x+iy$% и возведём в 4-ю степень. Выделим действительную и мнимую часть, и запишем соответствующее неравенство: $%x^4-6x^2y^2+y^4 > 4x^3y-4xy^3$%. Перенесём всё в одну часть: $%y^4+4xy^3-6x^2y^2-4x^3y+x^4 > 0$%. Заметим, что при $%x=0$% подходит любое $%y$% кроме нуля, то есть в множество решений неравенства войдёт вся мнимая ось кроме начала координат.

Пусть $%x\ne0$%; тогда неравенство можно разделить на положительное число $%x^4$%, и получится $%t^4+4t^3-6t^2-4t+1 > 0$%, где $%t=y/x$%. Соответствующее уравнение 4-й степени можно решить аналитически, а можно численно -- см. здесь. Для построения графика второй способ вполне пригоден.

Зная все корни уравнения, рисуем 4 прямые вида $%y=t_ix$%, где $%t_1 < \cdots < t_4$% -- корни уравнения. Эти прямые разбивают плоскость на 8 частей (углов), и надо заштриховать 4 из них в "шахматном" порядке, чтобы знак неравенства было "больше", а не меньше. Сориентироваться достаточно по какой-то одной из точек -- например, по случаю прямой $%y=x$%. Здесь $%t=1$%, и неравенство для этого значения не выполнено. Всё остальное доопределяется однозначно.

ссылка

отвечен 17 Янв '15 16:23

спасибо большое)

(17 Янв '15 21:59) Fizik
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,417
×521
×384

задан
17 Янв '15 10:46

показан
533 раза

обновлен
17 Янв '15 21:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru