Пусть М-точка пересечения медиан треугольника АВС, О-произвольная точка. Докажите, чтоalt text

задан 17 Янв '15 13:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай в треугольнике дано медианы АК, BL, CN и О любая точка. Возьмем, к примеру, на BL точку Р так, что BP=PM. Теперь несколько раз воспользуемся правилом паралеллограмма. Из треугольника AOC $%\overrightarrow{OL}= \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$% , из треугольника ВОМ $%\overrightarrow{OP}= \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM})$%. Из треугольника POL $%\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2} (\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OL})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2} (\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}))$%.

$%\overrightarrow{OM}= \frac{1}{4}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$%

$%\frac{3}{4}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$% Умножим обе части на $%\frac{4}{3}$% и получим требуемый результат $%\overrightarrow{OM}= \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$%

ссылка

отвечен 17 Янв '15 18:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины. Возьмём медиану $%AA_1$%. Векторы $%\vec{AM}$% и $%\vec{MA_1}$% имеют одно и то же направление, и первый вектор в 2 раза длиннее. Значит, если мы умножим второй вектор на число 2, то мы получим первый вектор: $%2\cdot\vec{MA_1}=\vec{AM}$%.

Теперь представим каждый из векторов в виде разности радиус-векторов с началом в точке $%O$%. Получится $%2(\vec{OA_1}-\vec{OM})=\vec{OM}-\vec{OA}$%. Это значит, что $%3\vec{OM}=\vec{OA}+2\vec{OA_1}$%. Теперь вспомним, что $%A_1$% есть середина отрезка $%BC$%, поэтому её радиус-вектор равен полусумме радиус-векторов концов, то есть $%\vec{OA_1}=\frac12(\vec{OB}+\vec{OC})$%. Используя это равенство, приходим к формуле $%3\vec{OM}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}$%, и остаётся обе части домножить на число $%\frac13$%.

ссылка

отвечен 17 Янв '15 17:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,394
×184
×134

задан
17 Янв '15 13:24

показан
575 раз

обновлен
17 Янв '15 22:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru