На стороне $%AB$% треугольника $%ABC$% с углом $%ABC$%, равным $%\alpha$%, расположена точка $%K$%, причем $%AK=BC$%. Пусть $%P$%-середина $%BK$%, $%M$%-середина $%AC$%. Найдите угол $%APM$%.

задан 18 Янв '15 16:11

изменен 18 Янв '15 19:04

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем считать, что $%\angle ABC=\beta$% (стандартные обозначения). Пускай $%\angle APM=\phi$%. $$AP=a+(c-a)/2=(a+c)/2,$$ $$\frac{\sin\angle AMP}{\sin\angle APM}=\frac{\sin(\alpha+\phi)}{\sin\phi}=\sin\alpha\cot\phi+\cos\alpha=\frac{AP}{AM}=\frac{a+c}{b}=\frac{\sin\alpha+\sin\phi}{\sin\beta}=$$ $$=\frac{\sin\alpha+\sin(\alpha+\beta)}{\sin\beta}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}+\sin\alpha\cot\beta+\cos\alpha,$$ $$\sin\alpha\cot\phi+\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}+\sin\alpha\cot\beta+\cos\alpha,$$ $$\cot\phi=\frac1{sin\beta}+cot\beta=\frac{1+\cos\beta}{\sin\beta}=\frac{2\cos^2\beta/2}{2\sin\beta/2\cos\beta/2}=\cot\beta/2,$$ $$\phi=\beta/2.$$

ссылка

отвечен 18 Янв '15 16:52

изменен 18 Янв '15 17:45

@EdwardTurJ, а как выразить сам угол АРМ?

(18 Янв '15 17:28) melwentay
1

Там после тригонометрических упрощений получается $%\beta/2$%. Вообще, можно эту задачу решить и без применения тригонометрии, используя свойство биссектрисы.

(18 Янв '15 17:39) falcao

@falcao, а можно сами упрощения, чтобы получить $%\beta/2$%?

(18 Янв '15 17:44) melwentay
1

@melwentay: Через формулы половинного угла - добавил в решение.

(18 Янв '15 17:47) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,903
×442
×83

задан
18 Янв '15 16:11

показан
669 раз

обновлен
18 Янв '15 17:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru