Рассмотрим все графики квадратичных функций вида $%y = x^2 + px+ q$%, пересекающие оси координат в трех различных точках. Докажите, что все окружности, описанные вокруг треугольников с вершинами в этих точках, проходят через одну общую точку.

задан 18 Янв '15 16:44

изменен 18 Янв '15 19:18

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Здесь было некорректное условие - math.hashcode.ru/questions/53276/

(18 Янв '15 16:55) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
0

Ответом будет точка $%(0;1)$%. Проверить это можно так. Пусть $%x_1 < x_2$% -- корни квадратного уравнения. Тогда $%p=-x_1-x_2$% и $%q=x_1x_2$% по теореме Виета. Оси координат парабола пересекает в точках $%(x_1;0)$%, $%(x_2;0)$% и $%(0;q)$%, где $%q\ne0$%, так как все три точки пересечения различны.

Найдём положение центра окружности, описанной около треугольника. Он лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $%[x_1,x_2]$% числовой прямой (оси абсцисс), поэтому имеет координаты вида $%(\frac{x_1+x_2}2;t)$%, где $%t$% надо найти. Мы знаем, что квадраты расстояний от этой точки до точек $%(x_1;0)$% и $%(0;q)$% равны, что приводит к уравнению $%\frac{(x_2-x_1)^2}4+t^2=\frac{(x_2+x_1)^2}4+(t-q)^2$%. Упрощая, получаем $%t=\frac{q+1}2$%.

Теперь осталось заметить, что центр окружности лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, концы которого суть $%(0;q)$% и $%(0;1)$%. Проходя через первую из точек, окружность должна пройти и через вторую.

ссылка

отвечен 18 Янв '15 17:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×158

задан
18 Янв '15 16:44

показан
627 раз

обновлен
18 Янв '15 19:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru