|
Найти угловой коэффициент прямой, являющейся общей касательной к графикам функций $%y=x^2$%, $%y=\frac 1x$%. Что-то даже представить такую касательную не могу. задан 18 Янв '15 18:41 
Верик |
|
Касательная $%y=kx+b$% имеет с каждым графиком ровно одну точку пересечения, то есть уравнения $$x^2=kx+b,$$ $$\frac1x=kx+b$$ имеют ровно по одному корню. Их дискриминанты равны нулю: $$k^2+4b=0, b^2+4k=0,b=-k^2/4,k^4/16+4k=0,k^3=-64,k=-4.$$ отвечен 18 Янв '15 18:54 
EdwardTurJ |
|
Я так понимаю, там имеется в виду функция $%y=x^2$% (пропущена переменная). Общая касательная здесь имеется, но не в первой координатной четверти. Геометрически нетрудно себе представить прямую, которая касается параболы слева, а гиперболы -- в третьей четверти. Для нахождения её уравнения можно не использовать производную, а рассуждать так. Пусть общая касательная имеет уравнение $%y=kx+b$%. Тогда уравнение $%x^2-kx-b=0$% имеет в точности одно решение, откуда дискриминант равен нулю: $%k^2+4b=0$%. Теперь рассмотрим пересечение с гиперболой: $%\frac1x=kx+b$%. Домножая на $%x$%, имеем другое квадратное уравнение $%kx^2+bx-1=0$% (случай $%k=0$% невозможен). У него также один корень, и равный нулю дискриминант: $%b^2+4k=0$%. Теперь решаем систему, и учитываем, что решение ненулевое. Получается $%k=b=-4$%, то есть общая касательная имеет вид $%y=-4x-4$%. Точками касания будут $%(-2;4)$% для параболы и $%(-\frac12;-2)$% для гиперболы. отвечен 18 Янв '15 18:59 
falcao |
@Верик, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).