Найти угловой коэффициент прямой, являющейся общей касательной к графикам функций $%y=x^2$%, $%y=\frac 1x$%. Что-то даже представить такую касательную не могу.

задан 18 Янв '15 18:41

изменен 18 Янв '15 19:23

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@Верик, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(18 Янв '15 19:23) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

Касательная $%y=kx+b$% имеет с каждым графиком ровно одну точку пересечения, то есть уравнения $$x^2=kx+b,$$ $$\frac1x=kx+b$$ имеют ровно по одному корню. Их дискриминанты равны нулю:

$$k^2+4b=0, b^2+4k=0,b=-k^2/4,k^4/16+4k=0,k^3=-64,k=-4.$$

ссылка

отвечен 18 Янв '15 18:54

изменен 18 Янв '15 18:54

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я так понимаю, там имеется в виду функция $%y=x^2$% (пропущена переменная).

Общая касательная здесь имеется, но не в первой координатной четверти. Геометрически нетрудно себе представить прямую, которая касается параболы слева, а гиперболы -- в третьей четверти. Для нахождения её уравнения можно не использовать производную, а рассуждать так. Пусть общая касательная имеет уравнение $%y=kx+b$%. Тогда уравнение $%x^2-kx-b=0$% имеет в точности одно решение, откуда дискриминант равен нулю: $%k^2+4b=0$%. Теперь рассмотрим пересечение с гиперболой: $%\frac1x=kx+b$%. Домножая на $%x$%, имеем другое квадратное уравнение $%kx^2+bx-1=0$% (случай $%k=0$% невозможен). У него также один корень, и равный нулю дискриминант: $%b^2+4k=0$%.

Теперь решаем систему, и учитываем, что решение ненулевое. Получается $%k=b=-4$%, то есть общая касательная имеет вид $%y=-4x-4$%. Точками касания будут $%(-2;4)$% для параболы и $%(-\frac12;-2)$% для гиперболы.

ссылка

отвечен 18 Янв '15 18:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

Еще один способ

ссылка

отвечен 18 Янв '15 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×84

задан
18 Янв '15 18:41

показан
4357 раз

обновлен
18 Янв '15 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru