Одна из известных задач про принцессу и тигра имеет формулировку:

"В некотором царстве правил король. Однажды он предложил узнику угадать, в какой из двух комнат находится принцесса, а в какой – тигр. Король объявил узнику относительно комнаты 1 следующее: если в этой комнате находится принцесса, то утверждение на табличке истинно, если же тигр, то оно ложно. Для комнаты 2 все было наоборот. Узнику было объявлено, что в каждой комнате будет находиться либо принцесса, либо тигр, но может оказаться, что в обеих комнатах окажется либо по принцессе, либо по тигру. Н а первой двери висела табличка с надписью – Что выбрать – большая разница; на второй – Лучше выбрать другую комнату. Какую комнату выбрать узнику? "

Хотелось бы понять, как можно решить эту задачу не просто логически, а математически. Скорее всего, надо взять переменные:

  • Xi - в i комнате находится принцесса
  • Yi - в i комнате находится тигр

и с их помощью формализовать выражения, а затем преобразовать.

Помогите разобраться, как будут выглядеть надписи на табличках, представленные через эти переменные?

Будет ли верным такое рассуждение? Если - f1 - надпись на первой двери - f2 - на второй, то общее уравнение имеет вид:

(X1->f1)(y1->не Y1)(у2->не f2)(y2->f2)=1

f1 = (x1∧не х2∧не у1∧у2)∨(не х1∧х2∧у1∧не у2)
не f1 = (х1∧не у1∧х2∧не у2)∨(у1∧не х1∧у2∧не х2)
f2 = x1
не f2 = x2

(частично использовал советы Limit-Sun)

задан 19 Май '12 13:58

изменен 19 Май '12 23:35

А зачем Вам две переменные? Ведь по двое они не сидят? От принцессы мало что останется... Значит, придется добавлять условие $%X_i \ne Y_i$%

(19 Май '12 22:03) DocentI

А как тогда предусмотреть все возможные варианты? ведь может быть ситуация, когда в обоих комнатах сидит по тигру или по принцессе

(19 Май '12 22:24) carapuz

И что? В ваших обозначениях $%Y_i = не X_i$%, так что от переменных Y можно избавиться. Мне казалось, что мы уже решили эту проблему в предыдущем обсуждении.

(20 Май '12 1:02) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Ну, если пользоваться вашей терминологией, то получим следующее:

"Что выбрать - большая разница (в одной комнате принцесса, в другой тигр или наоборот)" $% (X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2)\vee(Y_1\wedge\overline{X_1}\wedge\overline{Y_2}\wedge X_2) $%

Соответственно отрицание к этому утверждению (принцесса и принцесса или тигр и тигр) $% (X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge X_2\wedge\overline{Y_2})\vee(Y_1\wedge\overline{X_1}\wedge Y_2\wedge\overline{X_2}) $%

"Лучше выбрать первую комнату" - ну это понятно $% X_1 $%

Далле аккрутно всё это записываем:

$% (((X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2)\vee(Y_1\wedge\overline{X_1}\wedge\overline{Y_2}\wedge X_2))\wedge X_1\wedge\overline{Y_1}\vee ((X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge X_2\wedge\overline{Y_2})\vee\\(Y_1\wedge\overline{X_1}\wedge Y_2\wedge\overline{X_2}))\wedge\overline{X_1}\wedge Y_1)\wedge((\overline{X_1}\wedge Y_1\wedge X_2\wedge\overline{Y_2})\vee(X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2))$%

Потом, собственно, раскладываем это выражение:

$% ((X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2)\vee(Y_1\wedge\overline{X_1}\wedge Y_2\wedge\overline{X_2}))\wedge((\overline{X_1}\wedge Y_1\wedge X_2\wedge\overline{Y_2}))\vee\\\vee(X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2))=X_1\wedge\overline{Y_1}\wedge\overline{X_2}\wedge Y_2$%

Получаем ответ: в первой комнате находится принцесса, во второй - тигра.

ссылка

отвечен 19 Май '12 16:20

изменен 20 Май '12 2:19

Это и есть логическое решение. Мы уже обсуждали эту задачу здесь
Кстати, второе высказывание не так однозначно. Можно ли его считать верным, если в обеих комнатах сидят принцессы?

(19 Май '12 22:01) DocentI

Да, решение разумеется логическое, но для дисмата самое то :)

Теперь, по поводу второго утверждения - для более чёткой формализации лучше считать, что под понятием "лучше выбрать первую комнату" не подразумевается, что принцесса за первой дверью лучше, той, что за второй (ну или тигр добрее). А именно, то, что во второй комнате всё-таки тигра, а в первой принцесса. Хотя в целом согласен, тут можно и поразмышлять

Сейчас немного подкорректирую своё решение и доведу до конца, чтобы было понаглядней

(20 Май '12 1:49) Limit-Sun

Вообще не понимаю, зачем автор снова поднимает тот же вопрос. В прошлый раз я ему все написала, через переменные, разве что к ДНФ не привела. И переменных было меньше (учитывались только тигры, так как отсутствие тигра = принцессе). И ответ я там получила (открыть первую комнату).

(20 Май '12 1:59) DocentI

В целом согласен, без логики при решении задачи никак не обойтись и это решение во многом похоже на предложенное вами. Перегруз по переменным (четыре вместо двух) - излишний, правда мы можем посадить в одну комнату принцессу и тигру, однако это состояние быстро переходит в тигру без принцессы (как вы и заметили). Случай, когда две тигры или две принцессы в одной комнате по своему интересен, но в данной задаче до этого не доходит

(20 Май '12 2:14) Limit-Sun
10|600 символов нужно символов осталось
0

Что значит "не логически, а математически". А какие значения принимают ваши переменные - "ложь, истина" или "0, 1"? Второе, по сути - только кодировка первого. Все равно к ним придется применять некоторые логические действия.
Конечно, их можно выразить арифметически, но это очень искусственно. Например, так: операция "x и y" соответствует xy. Операцию "или" можно представить как x + y - xy. Только зачем это? Мы ведь уже выяснили решение этой задачи? Кстати, я исправила окончательный вид решения.

В принципе, можно ввести переменные $%P_i$% и $%T_i$%, задающие число принцесс (соотв. тигров) в i-ой комнате. Но в таких переменных трудно будет описать логическое следствие.

ссылка

отвечен 19 Май '12 21:59

изменен 19 Май '12 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×811

задан
19 Май '12 13:58

показан
1587 раз

обновлен
20 Май '12 2:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru