Правильно ли будет "словесно" дать следующее определение:

$$\int\limits_a^\infty f(x)g(x) dx$$

сходится, если:

  1. функция $%f$% определена и непрерывна на $%[a;∞)$%;
  2. функция $%g$% определена на $%[a;∞)$% и (при $%g(x)>0$% она не возрастает) или (при $%g(x)<0$% не убывает) для любого $%x>a$%;
  3. $%\lim\limits_{x \to ∞} g(x)=0$%.

Вики

задан 19 Янв '15 12:26

изменен 19 Янв '15 15:14

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

1

Здесь пропущено очень существенное условие, что $%f$% имеет ограниченную первообразную. Без него получается, что на $%f$% практически нет ограничений. Далее уже тонкости: если говорится о возрастании (неубывании) не на множестве, а в точке, то говорить лучше на языке производной. Тогда надо предполагать, что $%g$% имеет производную, причём непрерывную. Можно посмотреть также формулировку здесь.

(19 Янв '15 12:40) falcao

@falcao, если от $%f$% первообразная $%F(x) = ∞$%, то интеграл $%\int f(x)g(x)dx$% расходится?

(19 Янв '15 12:57) Ni55an

@Ni55an: все признаки сходимости этого типа работают в одну сторону. Если какой-то набор условий имеет место, то этого достаточно для сходимости интеграла. Если опустить одно из условий, то это не означает расходимости (например, тот же интеграл может сходиться по другому признаку). Но заведомо верно то, что если опустить условие, то само утверждение станет неверным. Можно будет легко указать простой контрпример, взяв $%f$% хотя бы тождественно единичной.

(19 Янв '15 13:07) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,116
×85

задан
19 Янв '15 12:26

показан
253 раза

обновлен
19 Янв '15 13:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru