В угол вписаны две окружности, которые касаются сторон угла и друг друга. Отношение площадей соответствующих кругов равно $%17 + 12\sqrt2$%. Найдите величину угла.

задан 19 Янв '15 18:34

возвращен 20 Янв '15 12:14

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%O_1,O_2$% - центры этих окружностей, $%R_1>R_2$% - их радиусы, $%A_1,A_2$% - проекции центров на одну из сторон угла $%S$%, $%\phi$% - величина угла $%S$%, $%B_1$% - проекция $%O_2$% на $%O_1A_1$%. то из $%\triangle O_1O_2B_1$% имеем $%R_1-R_2=\sin\phi/2(R_1+R_2)$%, то есть $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{1+\sin\phi/2}{1-\sin\phi/2}=\cot^2(\pi/2-\phi/4).$$ По условию $$\frac{R_1}{R_2}=\sqrt{17+12\sqrt{2}}=3+2\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^2,$$ отсюда $$\cot^2(\pi/2-\phi/4)=(1+\sqrt{2})^2,$$ $$\phi=\pi/2.$$

ссылка

отвечен 19 Янв '15 21:50

изменен 19 Янв '15 22:29

1

@EdwardTurJ: мне кажется, тут можно несколько упростить вычисления, не прибегая к тригонометрическим тождествам. Нам известно, что $%k=R_1:R_2=3+2\sqrt2$%, и тогда синус половинного угла равен $%(R_1-R_2):(R_1+R_2)=(k-1):(k+1)=1/\sqrt2$%.

В формулах есть опечатка: радиусы с какого-то момента поменялись ролями.

(19 Янв '15 22:25) falcao

@falcao: Да, у Вас проще. Спасибо за замечание.

(19 Янв '15 22:29) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×74

задан
19 Янв '15 18:34

показан
1496 раз

обновлен
20 Янв '15 6:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru