Петя построил из одинаковых кубиков конструкцию в форме прямоугольного параллелепипеда и покрасил краской три его грани, имеющие общую вершину. Затем он развалил кубики и посчитал количество кубиков, у которых хотя бы одна грань окрашена. Оказалось, что число таких кубиков равно числу не окрашенных кубиков. Какое наименьшее кол-во кубиков мог использовать Петя?

задан 19 Янв '15 18:45

$%4\times 5\times 6=120.$%

(19 Янв '15 21:15) EdwardTurJ

@Chokolad, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(19 Янв '15 22:17) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь имеет смысл проанализировать все возможные решения (их конечное число).

Легко заметить, что не окрашенные кубики образуют параллелепипед. Пусть он имеет размеры $%a\times b\times c$%. Тогда исходный параллелепипед, у которого все измерения соответственно больше на единицу, имеет вдвое больший объём, что приводит к такому уравнению в натуральных числах: $$\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{abc}=2.$$ Можно сравнить с решением этой задачи, где уравнение похожего типа решалось в целых числах.

Без ограничения общности можно положить $%a\le b\le c$%. Если $%a\ge4$%, то $%\frac{a+1}a=1+\frac1a\le\frac54$%, и это же будет верно для остальных сомножителей. Однако $%(\frac54)^3=\frac{125}{64} < 2$%, и решений при этом не будет. Следовательно, $%a$% равно $%2$% или $%3$% (ясно, что $%a\ne1$%), и эти два случая можно разобрать по отдельности.

При $%a=2$% уравнение принимает вид $%3(b+1)(c+1)=4bc$%. Упрощая, имеем $%bc-3b-3c=3$%, то есть $%(b-3)(c-3)=12$%. Рассматривая три варианта разложения числа 12 на множители, получаем три решения исходного уравнения: $%(2,4,15)$%, $%(2,5,9)$%, $%(2,6,7)$%. Произведения здесь равны $%120$%, $%90$% и $%84$% соответственно (это количество неокрашенных кубиков, которое вдвое меньше общего их количества).

При $%a=3$% аналогично получаем $%2(b+1)(c+1)=3bc$%, что равносильно $%(b-2)(c-2)=6$%. Это даёт ещё два решения $%(3,3,8)$% и $%(3,4,5)$%, где произведения равны $%72$% и $%60$% соответственно. Наименьшее из всех встречающихся пяти произведений равно $%60$%, что соответствует $%120$% использованным кубикам.

ссылка

отвечен 19 Янв '15 22:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,770

задан
19 Янв '15 18:45

показан
903 раза

обновлен
19 Янв '15 22:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru