На клетчатом листе обведен прямоугольник размером 4*15=60 клеточек, а также проведена прямая. Эта прямая пересекает ровно n клеток прямоугольника (возможно по одной точке, то есть по вершине клетки) Чему может быть равно число n?

Я рассуждал следующим образом: Так как стороны прямоугольника взаимно простые числа, т. е. их наибольший общий делитель равен 1, то диагональ прямоугольника не проходит через углы клеток прямоугольника и тогда число клеток, через которые проходит диагональ равно (4 - 1) + (15 - 1) + 1 = 18 клеток - это максимальное количество, которое может принимать значение n. Минимальное значение равно 1, т.к. по условию задачи прямая должна пересекать прямоугольник, поэтому n = 0 - не может быть. Поэтому n может принимать значения от 1 до 18. Я прав, или я что-то не понял и все рассуждения неверны. Заранее благодарен.

У меня есть еще одна идея: так как по условию задачи эта прямая пересекает ровно n клеток прямоугольника (возможно по одной точке, то есть по вершине клетки) и если это условие понять так, что когда прямая проходит через одну вершину клетки, то она пересекает сразу 4 клетки (каждую в одной точке), тогда максимальное количество точек пересечения будет больше и значит n будет больше. Определим это количество следующим образом: возьмем прямоугольник $%4\times16$%, проведем в нем диагональ, т.к. НОД(4; 16) = 4, то эта диагональ пройдет через три вершины клеток внутри прямоугольника и это даст пересечение с 12 клетками в одной точке. Кроме этого эта прямая пересекает 3 клетки до точки, где она пересекает сразу 4 клетки по одной точке между точками, где прямая пересекает сразу три клетки (по одной точке) будет находиться по 2 клетки и в конце будет 2 клетки, т.к. мы должны отбросить одну клетку, т.к. мы рисовали прямую для прямоугольника $%4\cdot16$%, у нас задан $%4\cdot15$% Таком образом, у нас получается, что прямая пересекает $%3+4\cdot3 + 2\cdot3 = 21$% клетки. Значит максимальное значение n = 21. Т.е. $%n \in [1; 21]$% . Какое рассуждение более верно, или я в обеих не прав. Заранее благодарен.

задан 20 Янв '15 0:51

изменен 26 Янв '15 15:46

@serg55: Если провести длинную среднюю линию, то она пересекает 30 клеток. Не так ли?

(20 Янв '15 1:54) EdwardTurJ

Здесь считается количество клеток, с которыми прямая имеет хотя бы одну общую точку. Минимальное значение равно нулю (прямая может пересекать n=0 клеток); есть также пример с 30 клетками, указанный @EdwardTurJ. Проблема в том, максимально ли это число (я думаю, это можно доказать), а также в том, какие промежуточные варианты возможны. Ниоткуда прямо не следует, что они все реализуются. Если мы слегка шевелим прямую, она может пройти через узел, и тогда число пересечений меняется не на единицу.

(20 Янв '15 2:01) falcao
1

@serg55: у меня сложилось ощущение, что здесь надо аккуратно перебирать и анализировать все варианты, включая промежуточные: когда прямая не проходит через узлы; когда проходит ровно через один узел; когда проходит через два узла и более.

(20 Янв '15 8:26) falcao

@serg55: +1 к последнему комментарию @falcao.

(20 Янв '15 11:22) EdwardTurJ

@falcao: Я не очень представляю, как можно проанализировать все варианты, но я попытался хоть что-то сделать, и у меня вроде бы получаются все возможные значения количества пересечений от n = 0 до n = 23 (наверху в условии задачи я попытался объяснить, как я получил n = 23) и отдельно стоит число n = 30. Т.е. мой ответ $%n \in [0;23] \cup \big\{30\big\} $%. Но все решение основано на рисунках, на мой взгляд, не очень обосновано. Не могли бы Вы, если Вас не затруднит, привести решение этой задачи, а то я уже третий день над ней думаю, изрисовал тетрадь этим прямоугольником. Заранее благодарен.

(20 Янв '15 13:13) serg55

К сожалению, у меня сейчас очень ограниченная возможность выхода в Интернет, и пишу я с планшета. Перебор вариантов с объяснением должен считаться решением' если ничего не упущено. Рисунки так же правомерны, как и чертежи в задачах по геометрии.

(26 Янв '15 22:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,761

задан
20 Янв '15 0:51

показан
1217 раз

обновлен
26 Янв '15 22:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru