Как это проверить в случае с полями:

$$a+b*\sqrt2 \ | \ a,b \in Q$$

$$a+b*\sqrt3 \ | \ a,b \in Q$$

задан 21 Янв '15 16:58

изменен 22 Янв '15 23:49

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

@Ni55an, как это будет выглядеть на практике

Предлагается взаимно однозначное соответствие $%\phi$%, где каждому элементу $%a+b\sqrt{2}\in R$% сопоставляют элемент $%\phi\Big(a+b\sqrt{2}\Big)=a+b\sqrt{3}\in R'$%... Остаётся проверить сохранение операций сложения и умножения...

Сложение: $$ z+w=\Big(a+b\sqrt{2}\Big)+\Big(c+d\sqrt{2}\Big)=(a+c)+(b+d)\sqrt{2} $$ $$ \phi(z)+\phi(w)=\Big(a+b\sqrt{3}\Big)+\Big(c+d\sqrt{3}\Big)=(a+c)+(b+d)\sqrt{3}=\phi(z+w) $$ Таким образом, операция сложения сохраняется...

Умножение: $$ z\cdot w=\Big(a+b\sqrt{2}\Big)\cdot \Big(c+d\sqrt{2}\Big)=(ac+2bd)+ (ad+bc)\sqrt{2} $$ $$ \phi(z)\cdot\phi(w)=\Big(a+b\sqrt{3}\Big)\cdot\Big(c+d\sqrt{3}\Big)=(ac+3bd)+(ad+bc)\sqrt{3}\not= \phi(z\cdot w) $$ Таким образом, операция умножения не сохраняется...

Следовательно, предложенное однозначное соответствие не является изоморфизмом...

ссылка

отвечен 22 Янв '15 20:10

изменен 23 Янв '15 0:11

Cпасибо. ) Жаль, что поздно.

(24 Янв '15 15:16) Ni55an

@all_exist: тут другой факт нужно доказать -- то, что сами поля не изоморфны. Для этого надо доказать, что нет никакого изоморфизма между ними. То, что одно конкретное правило соответствия не приводит к изоморфизму -- более слабый факт. Решение должно быть основано на других соображениях. Над одним из полей имеет решение уравнение икс в квадрате равно двум, а над другим -- нет.

(24 Янв '15 21:33) falcao

@falcao, Ваше решение красиво, но я не рассматривал вопроса топика в целом... я давал пояснение к вопросу, который возник в комментариях... но они уже стёрты...

(25 Янв '15 6:43) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,154

задан
21 Янв '15 16:58

показан
796 раз

обновлен
25 Янв '15 6:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru