Точки А и В движутся с равными скоростями по двум равным окружностям. Докажите, что серединные перпендикуляры к АВ проходят через фиксированную точку.

задан 21 Янв '15 21:18

Серединные перпендикуляры могут быть и параллельными друг другу.

(21 Янв '15 21:56) EdwardTurJ

Это когда точки двигаются в разной ориентации? Против и за часовой? Тогда, конечно, серединные перпендикуляры параллельны всегда . Но, судя по условию, не могут:) Значит, я думаю, в условии имеется ввиду, что точки движутся с равными скоростями и в одном направлении.

(21 Янв '15 22:15) Роман83

@Роман83: Если точки движутся с равными скоростями и в одном направлении, то серединные перпендикуляры также могут быть и параллельными друг другу.

Уточните, пожалуйста, условие.

(21 Янв '15 22:26) EdwardTurJ

Условие полное. Но... Таки, да. Мне кажется, что условие нужно уточнить так: Либо серединные перпендикуляры всегда параллельны, либо проходят через фиксированную точку за исключением двух моментов времени (то есть при каких то двух положениях точек А1;В1 и А2;В2) - тогда эти прямые параллельны.

(21 Янв '15 22:42) Роман83

И все таки нет, не согласен. Или же будут параллельны всегда, либо все проходят через фиксированную точку.

Условие верно.

(22 Янв '15 12:35) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пускай начальное положение точек $%A$% и $%B$% $% A_{1}$% и $%B_{1}$% соответственно. В результате движения по окружностях, они переходят в точки $% A_{2}$% и $%B_{2}$%. Дуги $% A_{1}A_{2}$% и $% B_{1}B_{2}$% равны. Если отрезки $% A_{1}B_{1}$% и $% A_{2}B_{2}$% параллельны, то и серединные перпендикуляры к ним параллельны, и общей точки пересечения этих перпендикуляров не существует. Если отрезки $% A_{1}B_{1}$% и $% A_{2}B_{2}$% не параллельны, то значит существует некая точка $%O,$% относительно которой в результате поворота первая окружность переходит во вторую или наоборот. Соответственно точка $% A_{1}$% переходит в точку $% B_{1},$% точка $% A_{2}$% переходит в точку $%B_{2}$% и дуга $% A_{1}A_{2}$% переходит в дугу $% B_{1}B_{2}$% . При этом, треугольники $%A_{1}OB_{1},$% $% A_{2}OB_{2}$% равнобедренные: $% A_{1}O=OB_{1},$% $% A_{2}O=OB_{2}.$% Поэтому точка $%O$% равноудаленная от точек $% A_{1}$% и $%B_{1},$% $% A_{2}$% и $%B_{2}.$% А это значит, что она лежит на серединных перпендикулярах к отрезкам $% A_{1}B_{1}$% и $% A_{2}B_{2}.$%

ссылка

отвечен 22 Янв '15 20:25

10|600 символов нужно символов осталось
0

Другое решение. Пусть $%l$% - прямая, при симметрии относительно которой окружности переходят друг в друга, $%A_1$% - точка, симметричная $%A$% относительно $%l$%. Тогда точки $%B$% и $%A_1$% движутся по одной окружности с противоположными скоростями, и значит, серединный перпендикуляр к отрезку $%A_1B$% не меняется. Точка его пересечения с $%l$% является центром описанной окружности треугольника $%AA_1B$%, следовательно, серединный перпендикуляр к $%AB$% все время проходит через эту точку.

ссылка

отвечен 23 Янв '15 17:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,393

задан
21 Янв '15 21:18

показан
378 раз

обновлен
23 Янв '15 20:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru