Пусть $%f(x)$% - измеримая на $%(0,l), 0 < l <\infty$% функция, $%\varphi(x)\in L_1(0,l)$% - отличная от тождественного нуля неотрицательная невозрастающая функция, $%1 \leq p < \infty$%

Определим функцию $%f^\ast(x)=\inf\{s>0: \operatorname{mes} E[|f|>s]\leq x\}$%.

Говорят, что функция $%f\in\Lambda(\varphi,p)$% , если $%\|f\|=\left(\int\limits_0^l\varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx\right)^\frac{1}{p}<\infty$%

Мне понадобилось рассмотреть вот такое пространство. К сожалению, в труде автора отсутствует доказательство полноты этого пространства в общем случае.

Как бы вы решали такую задачу?

задан 23 Янв '15 20:12

изменен 23 Янв '15 20:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

Отвечу на этот вопрос, если кому-то понадобится рассмотреть это пространство.

Прежде всего, запишем норму в следующем виде: $$\|f\|^p=\int\limits_0^l\varphi(x)f^\ast(x)^p\,dx=\int\limits_0^l \varphi(x)\int\limits_0^{f^\ast(x)}ps^{p-1}\,ds$$

В полученном двойном интеграле поменяем порядок интегрирования:

$$\int\limits_0^l \varphi(x)\int\limits_0^{f^\ast(x)}ps^{p-1}\,ds = \int\limits_0^{+\infty}ps^{p-1}\,ds\int\limits_0^{\operatorname{mes} E[|f| > x]}\varphi(x)\,dx$$.

Теперь, если $%f_n$% фундаментальна по норме пространства $\Lambda$, то она фундаментальна по мере в силу доказанного равенства. Т. о., существует измеримая функция $%f$%, такая, что $%f_n \to f$% по мере. По теореме Рисса, существует такая подпоследовательность $%f_{n_k}$%, что $%f = \lim\limits_{k\to\infty} f_{n_k}$% п. в..

Теперь расмотрим норму разности $%f$% и $%f_n$%:

$$\|f-f_n\|= \int\limits_0^l{\lim\limits_{k\to\infty}(\varphi(x)(f_{n_k}-f_n)^\ast(x))\,dx} = \int\limits_0^l{\varliminf\limits_{k\to\infty}(\varphi(x)(f_{n_k}-f_n)^\ast(x))\,dx} $$

Поскольку подпредельные функции неотрицательны, мы можем воспользоваться леммой Фату:

$$\int\limits_0^l{\varliminf\limits_{k\to\infty}(\varphi(x)(f_{n_k}-f_n)^\ast(x))\,dx} \leq \varliminf\limits_{k\to\infty}\int\limits_0^l{(\varphi(x)(f_{n_k}-f_n)^\ast(x))\,dx}=\varliminf\limits_{k\to\infty}\|f_{n_k}-f_n\|$$

В итоге мы получили неравенство $%\|f-f_n\| \leq \varliminf\limits_{k\to\infty}\|f_{n_k}-f_n\|$%.

Но выражение в правой части равно 0 в силу фундаментальности последовательности $%f_n$%.

Отсюда $%f_n \to f$% в $%\Lambda$%

ссылка

отвечен 22 Фев '15 10:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×331
×99
×18

задан
23 Янв '15 20:12

показан
349 раз

обновлен
22 Фев '15 10:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru