Найти норму функционала $%f$% над $%C[−1,1]$%, заданного формулой: $$f(x)=\int \limits_{-1}^1 x(t)dt- \frac 1{2n+1} \sum x(k/n),$$ где $%k$% от $%-n$% до $%n$%, $%n$% - const.

задан 24 Янв '15 17:42

изменен 24 Янв '15 21:00

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
1

Докажем, что норма этого функционала равна трём.

Рассмотрим произвольную функцию $%x(t)$% из $%C[-1;1]$% с условием $%||x||=1$%. Тогда $%x(t)\le1$% для всех $%t$%, и интеграл не больше двух. С другой стороны, $%x(t)\ge-1$% для всех $%t$%, и это неравенство можно применить к точкам вида $%t=\frac{k}n$%. Тогда сумма не меньше $%-(2n+1)$%, и после деления на $%2n+1$% получается число $%\ge-1$%, которое мы вычитаем из $%2$%. Оказывается, что $%f(x)\le3$%. Аналогично устанавливается, что $%f(x)\ge-3$%. В итоге $%|f(x)|\le3$% на единичной сфере, то есть $%||f||\le3$%.

Заметим, что хотя равенство $%f(x)=3$% не может иметь места ни для какой непрерывной функции $%x(t)$%, мы можем привести пример функции, для которой $%f(x)$% сколь угодно близко к $%3$%. Этого будет достаточно, чтобы из определения нормы функционала заключить, что $%||f||=3$%.

Рассмотрим произвольное достаточно малое число $%\varepsilon > 0$%. В качестве $%x(t)$% возьмём функцию $%1-\varphi(t)$%, где $%\varphi$% зависит от $%n$% и от $%\varepsilon$%. Функция $%\varphi$% будет кусочно-линейной, принимающей значение 1 в точках вида $%\frac{k}n$%. Каждую такую точку мы окружим достаточно малой $%\delta$%-окрестностью так, чтобы окрестности не пересекались. Вне этих окрестностей функцию полагаем равной нулю. Далее однозначно рисуем ломаную линию, делая функцию линейной на каждой из "половинок" окрестностей.

Нетрудно представить себе график такой функции, исходя из чего вычисляется площадь под этим графиком, то есть интеграл от $%\varphi$%. Площадь складывается из площадей $%4n$% одинаковых треугольников, и в сумме получается $%2n\delta$%. Поэтому, беря $%\delta < \frac{\varepsilon}{2n}$%, мы добиваемся того, что $%\int\limits_{-1}^1\varphi(t)\,dt < \varepsilon$%. Тогда $%f(x) > 3-\varepsilon$%, что и требовалось установить.

ссылка

отвечен 13 Фев '15 22:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×331

задан
24 Янв '15 17:42

показан
347 раз

обновлен
13 Фев '15 22:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru