Оператор $%A$% действует из пространства $%C[−1,1]$% в него же по формуле $%Ax(t)=\frac {x(t)-x(-t)}2$%.
Является ли он компактным?

задан 24 Янв '15 17:47

изменен 24 Янв '15 21:02

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Компактным этот оператор не будет, но решение я напишу чуть позже.

(13 Фев '15 19:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим произвольную нечётную функцию $%x(t)$%. Очевидно, что оператор переводит её в себя: $%Ax(t)=\frac12(x(t)-x(-t))=x(t)$%, то есть действует как тождественный на подпространстве нечётных функций. Тогда из общий соображений можно заключить, что он не компактен, так как действует на бесконечномерном пространстве.

Чтобы не ссылаться на какие-то общие факты, приведём конкретный пример. Достаточно построить ограниченную последовательность функций, не являющуюся предкомпактной (то есть такой, из которой можно извлечь сходящуюся подпоследовательность). Достаточно сделать так, чтобы было $%||f_n||=1$% при всех $%n$%, а также $%||f_m-f_n||=1$% при всех $%m\ne n$%.

Задавая нечётную функцию, мы можем делать это на отрезке $%[0;1]$%, далее продолжая её по нечётности на отрезок $%[-1;0]$%. Единственное ограничение -- функция в нуле должна принимать нулевое значение.

Пусть $%0 < a < b < 1$%. Рассмотрим такую непрерывную функцию $%\varphi_{a,b}(t)$%, которая равна нулю при $%t\in[0;a]\cup[b;1]$%, принимает значение 1 в середине отрезка $%[a,b]$%, то есть в точке $%c=\frac{a+b}2$%, и линейна на каждом из отрезков $%[a,c]$% и $%[c,b]$%. Графиком такой функции будет ломаная линия.

Очевидно, что $%||\varphi_{a,b}||=1$%. Также ясно, что если отрезки не пересекаются, то есть $%0 < a < b < c < d < 1$%, то модуль разности функций $%\varphi_{a,b}$% и $%\varphi_{c,d}$% имеет график, состоящий из двух "иголок" и получающийся, условно говоря, "наложением" графиков двух отдельных функций. Из этого ясно, что $%||\varphi_{a,b}-\varphi_{c,d}||=1$%.

Осталось задать бесконечное множество попарно не пересекающихся отрезков вида $%[\frac1{2n+1};\frac1{2n}]$%, полагая $%f_n=\varphi_{\frac1{2n+1};\frac1{2n}}$%. Это даёт искомый пример ограниченной последовательности функций, у которой образ (совпадающий с самой последовательностью в данном случае) не предкомпактен. Тогда $%A$% не компактен в силу определения.

ссылка

отвечен 13 Фев '15 21:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×331

задан
24 Янв '15 17:47

показан
500 раз

обновлен
13 Фев '15 22:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru