|
Хочу найти $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3 \in \Lambda^3$%. С одной стороны, я знаю формулу через перестановки, в которой не сомневаюсь: $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3=\sum_{\sigma \in S_3} \mathrm{sign} \ \sigma \ f^{\sigma(i_1,}\otimes f^{i_2,} \otimes f^{i_3)}$%. С другой стороны, я хочу раскрыть произведение, пользуясь ассоциативностью: $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3=(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3-(f^2 \otimes f^1)\wedge f^3$%. Кроме того, я могу раскрыть скобки по-другому. Во всех случаях ответы разные. В чём моя ошибка, как раскрыть произведение через ассоциативность, чтобы ответ получился такой же, как с помощью первой формулы? Спасибо! Добавление Вот что даёт определение (первая формула): $%f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^1 \otimes f^3 \otimes f^2-f^2 \otimes f^1 \otimes f^3+f^2 \otimes f^3 \otimes f^1+f^3 \otimes f^1 \otimes f^2-f^3 \otimes f^2 \otimes f^1$% - видно, что результат полностью антисимметричный по всем индексам. Вот что даёт расписывание через ассоциативность: $%(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3-(f^2 \otimes f^1)\wedge f^3=f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^3 \otimes f^1 \otimes f^2-f^2 \otimes f^1 \otimes f^3+f^3 \otimes f^2 \otimes f^1$% Собственно по некоторым индексам получается антисимметрично, по некоторым - нет. Значит я расписал вторую формулу неверно, но не пойму, почему. задан 20 Май '12 15:56 
Fedya |
|
Думаю, проблема в проведении альтернации. Для форм разной размерности ее нельзя проводить так же, как для одномерных. Т.е. $$(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3\ne f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^3 \otimes f^1 \otimes f^2$$
Альтернация должна проводиться по всем индексам. отвечен 20 Май '12 22:50 
DocentI Ага, да, похоже так и есть, спасибо!
(21 Май '12 0:06)
Fedya
Почему-то не работает ссылка. Вот она: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/789/%D0%92%D0%9D%D0%95%D0%A8%D0%9D%D0%95%D0%95#sel=12:1,12:1
(21 Май '12 0:10)
DocentI
|
По поводу разных результатов - не очень понятно. Альтернирование - есть альтернирование, в каком порядке не проводи. Лучше всего, по-моему, расписать через индексы.