Хочу найти $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3 \in \Lambda^3$%. С одной стороны, я знаю формулу через перестановки, в которой не сомневаюсь: $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3=\sum_{\sigma \in S_3} \mathrm{sign} \ \sigma \ f^{\sigma(i_1,}\otimes f^{i_2,} \otimes f^{i_3)}$%. С другой стороны, я хочу раскрыть произведение, пользуясь ассоциативностью: $%f^1 \wedge f^2 \wedge f^3=(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3-(f^2 \otimes f^1)\wedge f^3$%. Кроме того, я могу раскрыть скобки по-другому. Во всех случаях ответы разные. В чём моя ошибка, как раскрыть произведение через ассоциативность, чтобы ответ получился такой же, как с помощью первой формулы? Спасибо!

Добавление Вот что даёт определение (первая формула): $%f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^1 \otimes f^3 \otimes f^2-f^2 \otimes f^1 \otimes f^3+f^2 \otimes f^3 \otimes f^1+f^3 \otimes f^1 \otimes f^2-f^3 \otimes f^2 \otimes f^1$% - видно, что результат полностью антисимметричный по всем индексам. Вот что даёт расписывание через ассоциативность: $%(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3-(f^2 \otimes f^1)\wedge f^3=f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^3 \otimes f^1 \otimes f^2-f^2 \otimes f^1 \otimes f^3+f^3 \otimes f^2 \otimes f^1$% Собственно по некоторым индексам получается антисимметрично, по некоторым - нет. Значит я расписал вторую формулу неверно, но не пойму, почему.

задан 20 Май '12 15:56

изменен 20 Май '12 21:04

По поводу разных результатов - не очень понятно. Альтернирование - есть альтернирование, в каком порядке не проводи. Лучше всего, по-моему, расписать через индексы.

(20 Май '12 19:43) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
1

Думаю, проблема в проведении альтернации. Для форм разной размерности ее нельзя проводить так же, как для одномерных. Т.е. $$(f^1 \otimes f^2)\wedge f^3\ne f^1 \otimes f^2 \otimes f^3-f^3 \otimes f^1 \otimes f^2$$ Альтернация должна проводиться по всем индексам.
В энциклопедии приводится другая формула вычисления коэффициентов внешнего произведения. В Вашем случае первая форма $%f^1 \wedge f^2$% имеет коэффициенты, зависящие от 2 индексов, а вторая, $%f^3$% - от одного. В этом случае коэффициенты их внешнего произведения находятся альтернацией по всем трем индексам, а не только по "объединенному" индексу первой формы и отдельно второму.

ссылка

отвечен 20 Май '12 22:50

Ага, да, похоже так и есть, спасибо!

(21 Май '12 0:06) Fedya

Почему-то не работает ссылка. Вот она: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/789/%D0%92%D0%9D%D0%95%D0%A8%D0%9D%D0%95%D0%95#sel=12:1,12:1

(21 Май '12 0:10) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×750

задан
20 Май '12 15:56

показан
891 раз

обновлен
21 Май '12 0:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru