Даны три числа $%a, b, c$% такие, что $%a+b+c=2$% и $%a,b, c \geq 0$%. Докажите, что $% a^{2} \big(1-a\big)+ b^{2} \big(1-b\big)+c^{2} \big(1-c\big) \leq \frac{4}{9}$%

задан 25 Янв '15 11:55

изменен 25 Янв '15 11:56

EdwardTurJ's gravatar image


5041135

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если рассмотреть функцию $%f=x^2-x^3$% на отрезке $%x\in[0;2]$%... её наибольшее значение достигается в точке $%x_0=\frac{2}{3}$% и равняется $%f_{\max}=\frac{4}{9}\cdot\frac{1}{3}$%...

Так уж удачно заданы условия, что $%3x_0=2$%... следовательно, $%f(a)+f(b)+f(c)\le 3f_{\max}=\frac{4}{9}$%...

ссылка

отвечен 25 Янв '15 12:11

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$a^3+\frac4{27}=\frac{a^3}2+\frac{a^3}2+\frac4{27}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}2\cdot\frac{a^3}2\cdot\frac4{27}}=a^2.$$ Сложив три таких неравенства, получим нужное. Дополнительное условие $%a+b+c=2$% лишнее.

ссылка

отвечен 25 Янв '15 12:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,775
×150

задан
25 Янв '15 11:55

показан
292 раза

обновлен
25 Янв '15 12:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru